Adversus mathematicos

First Thousand Years of Greek · First Thousand Years of Greek · 2,861 sections

3.39.1
καθόσον ἕτερον μέν ἑτέρου στενώτερον δυνάμεθα νοῆσαι μῆκος, ὅταν δὲ τὸ αὐτὸ μῆκος κατ’ ἰσότητα φυλάττοντες σχίζωμεν ταῖς ἐπινοίαις τὸ πλάτος καὶ ἄχρι τινὸς τὸ αὐτὸ ποιῶμεν, ἔλατ- τον μέν τὸ πλάτος καὶ ἔλαττον γινόμενον νοήσομεν, ἐπει- δὰν δέ ἅπαξ φθάσωμεν στερῆσαι τοῦ πλάτους τὸ μῆκος, οὐκέτι οὐδὲ μῆκος φαντασιούμεθα, ἀλλʼ ἀναιρεῖται καὶ ἡ τοῦ μήκους ἐπίνοια.
3.40.1
καθόλου τε πᾶν τὸ νοούμενον κατὰ δύο τοὺς πρώτους ἐπινοεῖται τρόπους· ἢ γὰρ κατὰ περί- πτωσιν ἐναργῆ ἢ κατὰ τὴν ἀπὸ τῶν ἐναργῶν μετάβασιν, καὶ ταύτην τρισσήν· ἢ γὰρ ὁμοιωτικῶς ἢ ἐπισυνθετικῶς ἢ ἀναλογιστικῶς. ἀλλὰ κατὰ μὲν περιπτωτικὴν ἐνάργειαν νοεῖται τὸ λευκὸν καὶ τὸ μέλαν καὶ γλυκὺ καὶ πικρόν, κατὰ δὲ τὴν ἀπὸ τῶν ἐναργῶν μετάβασιν ὁμοιωτικῶς μέν νοεῖται καθάπερ ἀπὸ τῆς Σωκράτους εἰκόνος Σωκράτης αὐτός,
3.41.1
ἐπισυνθετικῶς δὲ καθάπερ ἀπὸ ἵππου καὶ ἀνθρώ- που ἱπποκένταυρος· ἵππεια γὰρ καὶ βρότεια μίξαντες μέλη ἐφαντασιώθημεν τὸν μήτε ἄνθρωπον μήτε ἵππον ἀλλʼ ἐξ ἀμφοτέρων σύνθετον ἱπποκένταυρον. ἀναλογιστικῶς δέ τι νοεῖται πάλιν κατὰ δύο τρόπους,
3.42.1
ὁτὲ μὲν αὐξητικῶς ὁτὲ δέ μειωτικῶς, οἷον ἀπὸ τῶν κοινῶν ἀνθρώπων, οἷοι νῦν βροτοί εἰσιν, παραυξητικῶς μὲν ἐνοήσαμεν Κύκλωπα, ὃς οὐκ ἐῴκει ἀνδρί γε σιτοφάγῳ ἀλλὰ ῥίῳ ὑλήεντι, (Hom. ι 191) μειωτικῶς δὲ τὸν πυγμαῖον ἄνθρωπον, ὃς οὐχ ὑπέπεσεν ἡμῖν περιπτωτικῶς.
3.43.1
τοσούτων δὴ νοήσεως ὄντων τρόπων, εἴπερ νοεῖταί τι ἀπλατές μῆκος, ἐξ ἀνάγκης ὀφείλει ἤτοι κατὰ περιπτωτικὴν ἐνάργειαν νοεῖσθαι ἢ κατὰ τὴν ἀπὸ τῶν ἐναργῶν μετάβασιν. ἀλλὰ κατὰ περιπτωτικὴν μὲν ἐνάργειαν οὐκ ἄν νοοῖτο οὐδενὶ γὰρ περιεπέσομεν μήκει χωρὶς πλάτους.
3.44.1
λείπεται οὖν κατὰ τὴν ἀπὸ τῶν ἐναργῶν μετάβασιν λέγειν αὐτὸ νενοῆσθαι ὃ πάλιν τῶν ἀδυνατω- τάτων. εἰ γὰρ οὕτως ἐνοήθη, ἤτοι πάντως κατὰ ὁμοίωσιν ἢ κατὰ ἐπισύνθεσιν ἐνοεῖτο ἢ κατὰ ἀναλογίαν· κατ’ οὐ- δένα δὲ τούτων τῶν τρόπων εἰς ἔννοιαν ἐλθεῖν πέφυκεν, ὡς παραστήσομεν· οὐκ ἄρα νοεῖταί τι μῆκος ἀπλατές.
3.45.1
αὐτίκα γὰρ κατὰ μέν τὴν ὁμοιότητα τῶν ἀμηχάνων ἐστὶ νοεῖν τι μῆκος ἀπλατές. οὐδὲν γὰρ ἔχομεν ἐν τοῖς φαινο- μένοις μῆκος χωρὶς πλάτους [νοούμενον], ἵνα νοήσωμεν ὅμοιόν τι τούτῳ μῆκος ἀπλατές.
3.46.1
τὸ γάρ τινι ὅμοιον γι- νωσκομένῳ πάντως ἐστὶν ὅμοιον, τῷ δὲ μὴ γινωσκομένῳῃ οὐδὲ ὅμοιον εὑρεῖν δυνατόν. ἐπεὶ οὖν οὐκ ἔχομεν ἐναργῶς ὑποπῖπτον ἡμῖν μῆκος χωρὶς πλάτους, οὐδὲ ὅμοιόν τι αὐτῷ δυνησόμεθα νοεῖν.
3.47.1
καὶ μὴν οὐδὲ κατ’ ἐπισύνθεσιν οἷόν τέ ἐστι προβαίνειν τοῖς γεωμέτραις αὐτοῦ τὴν ἐπί- νοιαν· εἰπάτωσαν γὰρ ἡμῖν τίνα τῶν ἐκ περιπτώσεως ἐναργῶς γινωσκομένωον μετὰ τίνων συνθέντες νοήσομεν τὸ ἀπλατές μῆκος, ὡς πρότερον ἐπʼ ἀνθρώπου καὶ ἵππου ποιοῦντες ἐφαντασιούμεθα ἱπποκένταυρον.
3.48.1
λείπεται οὖν ἐπὶ τὸν κατὰ ἀναλογιστικὴν αὔξησιν ἢ μείωσιν [τὸν ] τῆς νοήσεως αὐτοῖς τρόπον συμφεύγειν ὃ πάλιν τῶν ἀπόρων θεωρεῖται.
3.49.1
τὰ γὰρ κατὰ ἀναλογίαν νοούμενα ἔχει τι κοι- νὸν πρὸς τὰ ἀφʼ ὧν νοεῖται, οἷον ἀπὸ τοῦ κοινοῦ μεγέ- θους τῶν ἀνθρώπων παραυξητικῶς ἐνοήσαμεν τὸν Κύ- κλωπα καὶ μειωτικῶς τὸν πυγμαῖον, ὥστε εἶναί τι κοινὸν τοῖς κατὰ ἀναλογίαν νοουμένοις πρὸς ἐκεῖνα τὰ ἀφʼ ὧν νοεῖται. οὐδὲν δʼ ἔχομεν κοινὸν τοῦ τε ἀπλατοῦς καὶ τοῦ σὺν πλάτει νοουμένου μήκους, ἵνʼ ἀπʼ ἐκείνου ὁρμηθέντες νοήσωμεν τὸ ἀπλατές μῆκος.
3.50.1
μηδέ ἔχοντές τι κοινὸν αὐ- τῶν οὐδὲ κατὰ ἀναλογίαν ποιήσασθαι τὴν τοῦ ἀπλατοῦς μήκους νόησιν ἰσχύσομεν. ὅθεν εἰ ἕκαστον τῶν | νοουμέ- νων κατὰ τοὺς ἐκκειμένους νοεῖται τρόπους, δεδίδακται δὲ κατὰ μηδένʼ αὐτῶν νοούμενον τὸ ἀπλατές μῆκος, ἀν- επτινόητόν ἐστι τὸ ἀπλατές μῆκος.
3.51.1
Ὅμως δʼ οὖν καὶ πρὸς τοὺς οὕτως ἐναργεῖς ἐλέγχους πειρῶνται κατὰ τὸ δυνατὸν ἀνδριζόμενοι λέγειν οἱ γεω- μέτραι ὅτι κατ’ ἐπίτασιν νοεῖται τὸ ἀπλατές μῆκος.
3.52.1
λα- βόντες γοῦν ὁποιονδήποτε μῆκος σὺν ποσῷ πλάτει, φασὶν ὅτι μειοῦμεν κατʼ ἐπίτασιν τουτὶ τὸ πλάτος ἀεὶ καὶ μᾶλ- λον τὴν στενότητα ἐπιτείνοντες, εἶθʼ οὕτως τὸ κατ᾿ ἐπί- τασιν νοούμενον ἀπλατὲς εἶνοι μῆκος λέγομεν· εἰ γὰρ κατ᾿ ὀλίγον ἐλαττοῦται στενούμενον τὸ πλάτος κατ᾿ ἐπί- τασιν, ἐλεύσεταί ποτε καὶ εἰς ἀπλατὲς μῆκος, καταληξά- σης εἰς τοῦτο τῆς νοήσεως.
3.53.1
ἀλλὰ μὴν ἐδείξαμεν, ἐρεῖ τις, ὅτι ἡ παντελὴς στέρησις τοῦ πλάτους ἀναίρεσίς ἐστι καὶ τοῦ μήκους. εἶτα τὸ κατ᾿ ἐπίτασίν τινος νοούμενον οὐχ ἕτερόν ἐστι τοῦ προεπινοηθέντος, ἀλλʼ αὐτὸ ἐκεῖνο ἐπι- τεταμένον.
3.54.1
ἐπεὶ οὖν ἀπὸ τοῦ ποσὸν ἔχοντος πλάτος κατ᾿ ἐπίτασιν στενότητος νοῆσαί τι θέλομεν, τὸ μὲν πάντῃ πάντως ἀπλατὲς μῆκος οὐκ ἐπινοήσομεν (ἑτερογενὲς γάρ ἐστι), στενὸν δέ τι ληψόμεθα πλάτος, ὥστε τὴν κατά- ληξιν τῆς νοήσεως εν ἐλαχιστοτάτῳ γενέσθαι πλάτει, πλὴν ὅμως πλάτει, τὸ δὲ μετὰ τοῦτο γενέσθαι τὴν ἐπι- βολὴν τῆς διανοίας εἰς ἑτερογενές, καὶ ὃ μήτε μῆκός ἐστι μήτε πλάτος.
3.55.1
εἴπερ τε δυνατόν ἐστι μῆκός τι νοήσαντας σὺν ποσῷ πλάτει στερήσει τοῦ πλάτους λαβεῖν μῆκος ἀπλατές, ἐνδέξεταί ποτε κατὰ τὸν ὅμοιον τρόπον καὶ σάρκα σὺν τρωτῷ ἰδιώματι νοήσαντας στερήσει τοῦ τρω- τοῦ ἰδιώματος νοῆσαι ἄτρωτόν τε καὶ ἀπαθῆ σάρκα,
3.56.1
δυ- νατὸν δὲ ἔσται καὶ σῶμα νοήσαντας μετὰ ἀντιτύπου ἰδιώ- ματος στερήσει τῆς ἀντιτυπίας λαβεῖν τι μὴ ἀντιτυποῦν σῶμα. ὅπερ τελέως ἐστὶν ἀδύνατον καὶ παρὰ τὴν κοινὴν τῶν ἀνθρώπων ἔννοιαν· τὸ γὰρ ἄτρωτον νοούμενον ἡμῖν οὐκέτι ἐστὶ σάρξ, ἐπείπερ σὺν τῷ τρωτῷ ἰδιώματι ἡ σὰρξ | ἐνοεῖτο ὡς σάρξ, καὶ τὸ μὴ ἀντιτυποῦν σῶμα οὐκέτι νοεῖται σῶμα· σὺν γὰρ τῷ ἀντιτύπῳ ἰδιώματι ἐνοεῖτο 〈τὸ〉 σῶμα, καθό ἐστι σῶμα. ὅθεν καὶ τὸ νοούμενον μῆ- κος χωρὶς πλάτους οὐκ ἂν εἴη μῆκος· σὺν γὰρ τῷ ποσὸν ἔχειν πλάτος τὸ μῆκος ὡς μῆκος νοεῖται.
3.57.1
Ἀλλʼ ὅ γε Ἀριστοτέλης (fr. 29 Rose), καίπερ ποικί- λως κατασκευασθείσης τῆς τοῦ πράγματος ἀνεπινοησίας καὶ οὐκ ἐν ὀλίγῳ κειμένων ταράχῳ τῶν γεωμετρῶν, φησὶ μὴ ἀδιανόητον εἶναι τὸ ὑπὸ τούτων λεγόμενον μῆκος ἀπλα- τές, ἀλλὰ δύνασθαι χωρὶς πάσης περισκελείας εἰς ἔννοιαν ἡμῖν ἐλθεῖν. ἵστησι δὲ τὸν λόγον ἐπί τινος ἐναργεστέρου ὑποδείγματος καὶ σαφοῦς.
3.58.1
τὸ γοῦν τοῦ τοίχου μῆκος, φησί, λαμβάνομεν μὴ συνεπιβάλλοντες αὐτοῦ τῷ πλάτει, διόπερ ἐνέσται καὶ τὸ παρὰ τοῖς γεωμέτραις λεγόμενον μῆκος χωρὶς πλάτους τινὸς ἐπινοεῖν, ἐπείπερ ὄψις τῶν ἀδήλων ἐστὶ τὰ φαινόμενα, πλανώμενος ἢ τάχα κατασο- φιζόμενος ἡμᾶς. ὅταν γὰρ τὸ τοίχου μῆκος χωρὶς πλά- τους νοῶμεν, οὐ χωρὶς ποντὸς πλάτους αὐτὸ νοοῦμεν, ἀλλὰ χωρὶς τοῦ περὶ τῷ τοίχῳ καθεστῶτος πλάτους.
3.59.1
ὅθεν καὶ ἐνδέχεται συμπλέξαντας τὸ τοῦ τοίχου μῆκός τινι πλά- τει καὶ ὁτῳδηποτοῦν νόησιν αὐτοῦ ποιεῖσθαι ὥστε μῆκος λαμβάνεσθαι τὰ νῦν οὐ χωρὶς παντὸς πλάτους, καθάπερ ἀξιοῦσιν οἱ ἀπὸ τῶν μαθημάτων, ἀλλὰ χωρὶς τοῦδέ τινος πλάτους. προύκειτο δὲ τῷ Ἀριστοτέλει παραστῆσαι οὐχ ὅτι τινὸς πλάτους ἀμοιρεῖ τὸ κατὰ τοὺς γεωμέτρας λεγό- μενον μῆκος, ἀλλʼ ὅτι παντὸς ἐστέρηται πλάτους· ὅπερ οὐκ ἀπέδειξεν.
3.60.1
Ταῦτα μὲν οὖν περὶ τούτων ἐπειδὴ δὲ οἱ γεωμέτραι καὶ πέρας ἐπιφανείας εἶναι λέγουσι τὴν γραμμήν, ὅ ἐστι μῆκος ἀπλατές, φέρε κοινότερον περὶ γραμμῶν ἅμα καὶ | ἐπιφανειῶν διαπορῶμεν· οὕτω γὰρ εὐδιάβλητος καὶ ὁ ἐπὶ τὸ σῶμα γενήσεται λόγος.
3.61.1
εἰ γὰρ ἡ γραμμὴ πέρας ἐστὶν ἐπιφανείας, μῆκος ἀπλατὲς κοθεστῶσα, δῆλον ὡς ὅταν ἐπιφάνεια ἐπιφανείᾳ παρατεθῇ, ἤτοι παράλληλοι γε- νήσονται δύο γραμμαὶ ἢ μία ἀμφότεραι. καὶ εἰ μὲν κία αἱ δύο γραμμαὶ γίνονται, ἐπεὶ ἡ γραμμὴ πέρας ἐστὶν ἐπιφανείας, ἡ δὲ ἐπιφάνεια πέρας σώματος, τῶν μὲν δυοῖν γραμμῶν μιᾶς ἅμα γινομένων γενήσονται καὶ αἱ δύο ἐπιφάνειαι μία ἐπιφάνεια, τῶν δὲ δυοῖν ἐπιφανειῶν μιᾶς ἐπιφανείας γενηθεισῶν ἐξ ἀνάγκης ἔσται καὶ τὰ δύο σώματα ἓν σῶμα, τῶν δὲ δυοῖν σωμάτων ἑνὸς γενομένων ἡ παράθεσις οὐκ ἔσται παράθεσις ἀλλʼ ἕνωσις. ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
3.62.1
ἐπὶ τινῶν μὲν γὰρ σωμάτων δύναται ἡ παρά- θεσις ἕνωσις γίνεσθαι, καθάπερ ὕδατος καὶ τῶν ἐοικότων τούτῳ, ἐπὶ τινῶν δὲ οὐδαμῶς· καὶ γὰρ λίθος λίθῳ παρα- τιθέμενος καὶ σίδηρος σιδήρῳ καὶ ἀδάμας ἀδάμαντι κατὰ γραμμὴν οὐχ ἑνοῦνται. ὥστε οὐκ ἂν γένοιντο αἱ δύο γραμμαὶ μία γραμμή. καὶ γὰρ ἄλλως, εἰ ἕνωσίς ἐστι τῶν δύο γραμμῶν μιᾶς γενομένων καὶ σύμφυσις τῶν σωμά- των, ἐχρῆν τὸν χωρισμὸν γίνεσθαι μὴ κατὰ τὰ αὐτὰ αὐ- τῶν πέρατα ἀλλὰ κατὰ ἄλλα καὶ ἄλλα μέρη ἀποσπωμέ- νων, ὥστε καὶ φθορὰν συμβαίνειν. οὐχὶ δέ γε τοῦτο γινό- μενον θεωρεῖται, ἀλλὰ τὰ πέρατα τῶν σωμάτων καὶ πρὸ τῆς παραθέσεως καὶ μετὰ τὸν χωρισμὸν τοιαῦτά ἐστιν ὁποῖα καὶ ἐν τῇ παραθέσει ὄντα [πρότερον] ἐφαίνετο. οὐ τοίνυν αἱ δύο γραμμαὶ μία γίνονται.
3.63.1
οὐ μὴν ἀλλʼ εἴπερ αἱ δύο γραμμαὶ μία γίνονται, δεήσει τὰ παρατιθέμενα ἀλλή- λοις σώματα ἑνὶ ἄκρῳ ἐλάσσω εἶναι· γεγόνασι γὰρ αἱ δύο μία, ἥτις ἓν ἔχειν ὀφείλει πέρας τε καὶ ἄκρον. οὐχὶ δέ γε τὰ παρατιθέμενα ἀλλήλοις σώματα ἑνὶ ἄκρῳ γίνεται ἐλάσ- σονα, ὥστε αἱ δύο γραμμαὶ οὐκ ἂν γένοιντο μία γραμμή.
3.64.1
εἰ δὲ παράλληλοι γίνονται δύο γραμμαὶ κατὰ παράθε- σιν δυοῖν σωμάτων, τὸ ἐκ τῶν δυοῖν γραμμῶν μεῖζον ἔσται τῆς μιᾶς γραμμῆς. εἰ δὲ τὸ ἐκ τῶν δυοῖν γινόμενον γραμ- μῶν μεῖζόν ἐστι τῆς μιᾶς γραμμῆς, ἔχοι ἂν ἑκατέρα αὐτῶν πλάτος, ὃ μεθʼ ἑτέρας μείζονα ποιεῖ τὴν διάστασιν, καὶ οὕτως οὐκ ἔστιν ἀπλατὲς μῆκος ἡ γραμμή. δυοῖν οὖν θάτερον, ἢ ἀναιρεῖν δεῖ τὴν ἐνάργειαν, ἢ μενούσης ταύτης ἀθετεῖν τὴν τῶν γεωμετρῶν ἐπίνοιαν, καθʼ ἣν οἴονται τὴν γραμμὴν μῆκος ἀπλατὲς ὑπάρχειν.
3.65.1
Καὶ δὴ ταῦτα μὲν προηγουμένως ῥητέον ἐστὶν ἡμῖν πρὸς τὰς τῆς γεωμετρίας ἀρχάς· μεταβάντες δὲ διδά- σκωμεν ὅτι καὶ κατὰ τὰς ἐκείνων αὐτῶν ὑποθέσεις οὐχ οἷόν τε προβαίνειν τὴν ζήτησιν. ἀρέσκει τοίνυν αὐτοῖς τὴν εὐθεῖαν γραμμήν, ὡς καὶ ἀνώτερον (112, 26) ἐλέγομεν, στρεφομένην πᾶσιν αὐτῆς τοῖς μέρεσι κύκλους γράφειν· ᾧπερ θεωρήματι ὄντι συνεκτικωτάτῳ μαχόμενόν ἐστι τὸ τὴν γραμμὴν μῆκος ἀπλατὲς ὑπάρχειν.
3.66.1
ζητῶμεν δὲ τὸν τρόπον τοῦτον· εἰ γὰρ κατ᾿ αὐτοὺς πᾶν μέρος τῆς γραμ- μῆς ἔχει σημεῖον, τὸ δὲ σημεῖον στρεφόμενον κύκλον γράφει, δεήσει κατ᾿ αὐτούς, ὅταν ἡ εὐθεῖα γραμμὴ στρε- φομένη καὶ πᾶσι τοῖς ἑαυτῆς μέρεσι κυκλογραφοῦσα τὸ διάστημα καταμετρῇ 〈τὸ〉 τῆς ἀπὸ τοῦ κέντρου μέχρι τῆς ἐξωτάτης περιφερείας ἐπιπέδου, τότε ἤτοι συνεχεῖς ἀλλή- λοις ὑπάρχειν τοὺς καταγραφομένους κύκλους ἢ διεστῶ- τας ἀπʼ ἀλλήλων.
3.67.1
ἀλλʼ εἰ μὲν διεστᾶσιν ἀπʼ ἀλλήλων, ἀκολουθήσει μέρος τι εἶναι τῆς ἐπιπέδου τὸ μὴ κυκλο- γραφούμενον, καὶ τῆς εὐθείας μέρος τὸ κατὰ τούτου μὲν φερόμενον τοῦ διαστήματος, μὴ κυκλογραφοῦν δέ. ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον. ἢ γὰρ οὐκ ἔχει κατὰ τοῦτο τὸ μέρος ση- μεῖον ἡ εὐθεῖα γραμμή, ἢ ἔχουσα οὐ καταγράφει κύκλον, ὧν ἑκάτερον παρὰ τὸν γεωμετρικόν ἐστι λόγον· καὶ πᾶν γὰρ | μέρος τῆς γραμμῆς σημεῖον ἔχειν φασί, καὶ πᾶν σημεῖον στρεφόμενον κυκλογραφεῖν.
3.68.1
εἰ δὲ συνεχεῖς ἀλλή- λοις ὑπάρχειν οἴονται τοὺς κύκλους, ἤτοι οὕτως εἰσὶ συν- εχεῖς ὡς τὸν αὐτὸν ἐπέχειν τόπον, ἢ ὥστε ἄλλον παῤ ἄλλον τετάχθαι μηδενὸς σημείου μεταξὺ πίπτοντος· πᾶν γὰρ σημεῖον τὸ μεταξὺ κατ᾿ ἐπίνοιαν πῖπτον ὀφείλει καὶ αὐτὸ κύκλον γράφειν. καὶ εἰ μὲν τὸν αὐτὸν ἐπέχουσι τόπον πάντες, εἷς γενήσεται κύκλος, καὶ διὰ τοῦτο τῷ ἐλαχίστῳ κύκλῳ καὶ πρὸς τῷ κέντρῳ καθεστῶτι ὁ μείζων καὶ ἐξω- τάτω καὶ πάντων περιληπτικὸς καθεστὼς κύκλος ἴσος γενήσεται·
3.69.1
εἰ γὰρ ὁ μὲν ἐξωτάτω κύκλος καὶ πρὸς αὐτῇ τῇ περιφερείᾳ μεῖζον ἐπέχει διάστημα καὶ ὁ ἐσωτάτω πρὸς τῷ κέντρῳ κύκλος μικρὸν ἐπέχει διάστημα, πάντες δὲ οἱ κύκλοι τὸν αὐτὸν ἐπέχουσι τόπον, ὁ τὸ μεῖζον ἐπέ- χων διάστημα ἴσος γενήσεται τῷ 〈τὸ〉 ἐλάχιστον ἐπέ- χοντι διάστημα· ὅπερ ἐστὶν ἀπεμφαῖνον. οὐ τοίνυν οὕτως εἰσὶ συνεχεῖς οἱ κύκλοι ὡς τὸν αὐτὸν τόπον ἐπέχειν.
3.70.1
εἰ δὲ παράλληλοι τυγχάνουσιν ὥστε μεταξύ τι μὴ πίπτειν ἀμερὲς σημεῖον, συμπληρώσουσι τὸ ἀπὸ τοῦ κέντρου μέχρι τῆς περιφερείας πλάτος. εἰ δέ γε συμπληρώσουσιν, ἐπέ- χουσί τι πλάτος. ἦσαν δέ γε οὗτοι γραμμαί. αἱ ἄρα γραμ- μαὶ ἔχουσί τι πλάτος καὶ οὐκ ἀπλατεῖς καθεστήκασιν.
3.71.1
Ἀπὸ δὲ τῆς αὐτῆς δυνάμεως ὁρμώμενοι ὁμοιότροπον τῇ προαποδοθείσῃ συνθήσομεν ἐπιχείρησιν. ἐπεὶ γάρ φασι τὴν κυκλογραφοῦσαν εὐθεῖαν γραμμὴν διʼ ἑαυτῆς τὸν κύκλον καταγράφειν, συνερωτῶντες αὐτοὺς φήσομεν· εἰ ἡ κυκλογραφοῦοα εὐθεῖα γραμμὴ δι ἑαυτῆς τὸν κύκλον καταγράφειν πέφυκεν, οὔκ ἐστι μῆκος ἀπλατὲς ἡ γραμμή· ἀλλὰ μὴν ἡ κυκλογραφοῦοα εὐθεῖα γραμμὴ διʼ ἑαυτῆς τὸν κύκλον καταγράφει, ὡς ἐκεῖνοί φασιν· οὐκ ἄρα μῆ- κός ἐστιν ἀπλατὲς ἡ γραμμή, ὡς ἡμεῖς τοῦτο ἀκόλουθον ὂν ἐκείνοις διδάξομεν.
3.72.1
ὅταν γὰρ ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἀγο- μένη εὐθεῖα στρέφηται καὶ διʼ ἑαυτῆς καταγράφῃ κύ- κλον, τότε ἤτοι κατὰ πάντων τῶν μερῶν τοῦ ἐντὸς τῆς περιφερείας πλάτους φέρεται ἡ εὐθεῖα γραμμή, ἢ οὐ κατὰ πάντων ἀλλὰ κατὰ τινῶν. καὶ εἰ μὲν κατὰ τινῶν φέρε- ται, οὐδὲ καταγράφει κύκλον, καθʼ ὧν μὲν μερῶν φερο- μένη καθʼ ὧν δὲ οὔ. εἰ δὲ κατὰ πάντων φέρεται, ὅλον τὸ τῆς περιφερείας καταμετρήσει πλάτος,
3.73.1
πλάτος δὲ κατα- μετροῦσα ἕξει πλάτος· τὸ γὰρ τοῦ πλάτους καταμετρη- τικὸν ὀφείλει πλάτος ἔχειν, ᾧ καταμετρεῖ. ἡ ἄρα εὐ- θεῖα γραμμὴ κυκλοφοροῦσα ὅλον καταμετρεῖ τὸ πλάτος, καὶ οὔκ ἐστι μῆκος ἀπλατὲς ἡ γραμμή.
3.74.1
Τὸ δʼ αὐτὸ σαφέστερον δειχθήσεται καὶ ὅταν λέγωσιν οἱ γεωμέτραι τὴν πλάγιον τοῦ τετραγώνου πλευρὰν κατ- αγομένην τὸ παραλληλόγραμμον [καὶ] ἐπίπεδον καταμε- τρεῖν. εἴπερ γὰρ μῆκος ἀπλατές ἐστιν ἡ πλαγία πλευρὰ τοῦ τετραγώνου καταγομένη, οὐ καταμετρήσει τὸ παραλ- ληλόγραμμον ἐπίπεδον τοῦ τετραγώνου διʼ ἑαυτῆς· τὸ γὰρ καταμετρητικὸν πλάτους ὀφείλει πλάτος ἔχειν. εἰ δὲ καταμετρεῖ, πάντως πλάτος ἔχει. ὥστε πάλιν ἢ τοῦτο τὸ θεώρημα ψεῦδος εἶναι τοῖς γεωμέτραις, ἢ μηδὲν ὑπάρ- χειν τὸ νοούμενον μῆκος ἀπλατές.
3.75.1
Τόν τε κύλινδρόν φασι κατ᾿ εὐθεῖαν γραμμὴν ἅπτε- σθαι τῆς ἐπιπέδου καὶ ἐκκυλιόμενον τῇ ἀνὰ μέρος ἄλλων καὶ ἄλλων εὐθειῶν θέσει καταμετρεῖν τὴν ἐπίπεδον. ἀλλʼ εἰ καὶ κατ᾿ εὐθεῖαν ἅπτετοι τῆς ἐπιπέδου ὁ κύλινδρος καὶ κυλιόμενος τῇ ἀνὰ μέρος ἄλλων καὶ ἄλλων εὐθειῶν θέσει καταμετρεῖ τὴν ἐπίπεδον, πάντως καὶ ἡ ἐπίπεδος συνέστηκεν ἐξ εὐθειῶν καὶ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κυλίνδρου πά- λιν ἐξ εὐθειῶν πεπλήρωται.
3.76.1
ὅθεν ἐπεὶ ἔχει καὶ ἡ ἐπί- πεδος πλάτος καὶ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κυλίνδρου ὁμοίως καὶ οὐκ ἔστιν ἀπλατής, τὸ δὲ πλάτους ποιητικὸν ὀφείλει καὶ αὐτὸ πλάτος ἔχειν, δῆλον οὖν ὡς ὅτι καὶ αἱ εὐθεῖαι γραμμαὶ συμπληρωτικαὶ οὖσαι τοῦ πλάτους ἐξ ἀνάγκης πλάτος ἔχουσιν, ὥστε μηδὲν εἶναι μῆκος ἀπλατές, διὰ δὲ τοῦτο μηδὲ γραμμήν.
3.77.1
Εἰ δὲ καὶ δοίημεν τὴν γραμμὴν μῆκος εἶναι ἀπλατές, τὰ ἀκόλουθα τούτοις ἔτι τούτων ἀπορώτερα. ὥσπερ γὰρ τὸ σημεῖον ῥυὲν ποιεῖ γραμμήν, οὕτω καὶ ἡ γραμμὴ ῥυεῖσα ποιεῖ ἐπιφάνειαν κατ᾿ αὐτούς, ἥτις ἐστί, φασί, πέ- ρας σώματος δύο ἔχον διαστάσεις, μῆκος καὶ πλάτος.
3.78.1
εἴπερ οὖν ἡ ἐπιφάνεια πέρας ἐστὶ σώματος, τό γε σῶμα πάντως πεπερασμένον ἐστίν καὶ εἰ τοῦτο, ὅτε παρατίθε- ται δύο σώματα ἀλλήλοις, τότε ἤτοι τὰ πέρατα τῶν περά- των ἢ τὰ πεπερατωμένα τῶν πεπερατωμένων ἅψεται 〈ἢ καὶ τὰ πεπερατωμένα τῶν πεπερατωμένων καὶ τὰ πέρατα τῶν περάτων〉, οἷον ἐπὶ τοῦ ἀμφορέως, εἰ νοήσαιμεν πέ- ρας μὲν τὸ ἔξωθεν ὄστρακον πεπερατωμένον δὲ τὸν ἐν αὐτῷ οἶγον.
3.79.1
δυοῖν οὖν ἀμφορέων παραβληθέντων ἀλλή- λοις ἤτοι τὸ ὄστρακον τοῦ ὀστράκου ἅψεται ἢ ὁ οἶνος τοῦ οἴνου ἢ καὶ τὸ ὄστρακον τοῦ ὀστράκου καὶ ὁ οἶνος τοῦ οἴνου. καὶ εἰ μὲν τὰ πέρατα τῶν περάτων ἅπτεται, τὰ πεπερατωμένα ἀλλήλων οὐχ ἅψεται, τουτέστι τὰ σώ- ματα, ὅπερ ἧν ἀπεμφαῖνον. εἰ δὲ τὰ πεπερατωμένα μὲν ἀλλήλων ἅψεται, τουτέστι τὰ σώματα, τὰ πέρατα δὲ ἀλ- λήλων οὐχ ἅψεται, ἐκτὸς ἔσται τὰ σώματα τῶν οἰκείων περάτων.
3.80.1
εἰ δὲ καὶ τὰ πέρατα τῶν περάτων ἅπτεται καὶ τὰ πεπερατωμένα τῶν πεπερατωμένων, ἐπισυνθήσομεν τὰς ἀπορίας· μὲν γὰρ τὰ πέρατα ἀλλήλων ἅπτεται, τὰ πεπερατωμένα οὐχ ἅψεται ἀλλήλων, ᾗ δὲ τὰ πεπερατω- μένα, ἐκτὸς ἔσται τὰ σώματα τῶν οἰκείων περάτων, ἐπεὶ πέρας μέν ἐστιν ἡ ἐπιφάνεια, πεπερασμένον δὲ τὸ σῶμα. τά τε πέρατα σώματά ἐστιν ἢ ἀσώματα.
3.81.1
καὶ εἰ μὲν σώ- ματά ἐστι, ψεῦδος ἔσται τοῖς γεωμέτραμις τὸ ἀβαθῆ εἶναι τὴν ἐπιφάνειαν. | εἰ γὰρ σῶμά ἐστιν, ἐξ ἀνάγκης ἕξει καὶ βάθος πᾶν γὰρ σῶμα ὀφείλει βάθος ἔχειν. εἶτα οὐδὲ ἅψεταί τινος, ἀλλὰ πᾶν ἔσται ἀπειρομέγεθες. εἰ γὰρ σῶμά ἐστιν, ἐπεὶ πᾶν σῶμα πέρας ἔχει, κἀκεῖνο τὸ πέρας σῶμα ὂν ἕξει πέρας, κἀκεῖνο ὁμοίως, καὶ τοῦτ᾿ εἰς ἄπειρον.
3.82.1
εἰ δὲ ἀσώματόν ἐστι τὸ πέρας, ἐπεὶ τὸ ἀσώματον οὐδενὸς δύναται θιγεῖν οὐδὲ θιχθῆναι, τὰ πέρατα οὐχ ἅψεται ἀλ- λήλων, τούτων δὲ μὴ ἁπτομένων οὐδὲ τὰ πεπερατωμένα ἅψεται ἀλλήλων. κἂν δῶμεν οὖν εἶναι μῆκος ἀπλατὲς τὴν γραμμήν, ὁ περὶ τῆς ἐπιφανείας λόγος ἄπορός ἐστιν. οἷς, κἂν ἡμεῖς μὴ λέγωμεν, ἀπόροις οὖσι συναναιρεῖται καὶ τὸ στερεὸν σῶμα, ἐκ τούτων σύνθετον καθεστώς.
3.83.1
Σκοπῶμεν δὲ καὶ οὕτως· εἰ γὰρ σῶμά ἐστιν, ὥς φασιν οἱ γεωμέτραι, τὸ τὰς τρεῖς ἔχον διαστάσεις, μῆκος πλάτος βάθος, ἤτοι χωριστόν ἐστι τούτων τὸ σῶμα, ὥστε ἄλλο μὲν εἶναι τὸ σῶμα ἄλλο δὲ τὸ μῆκος τοῦ σώματος πλάτος τε καὶ βάθος, ἢ ὁ ἀθροισμὸς τούτων ἐστὶ τὸ σῶμα. ἀλλὰ χωρίζεσθαι μὲν τούτων τὸ σῶμα οὐ πιθανόν ἐστιν· ὅπου γὰρ μήτε μῆκός ἐστι μήτε πλάτος μήτε βάθος, ἐκεῖ οὐχ οἷόν τε νοῆσαι σῶμα·
3.84.1
εἰ δὲ ὁ ἀθροισμὸς τούτων νοεῖται σῶμα καὶ ἄλλο παρὰ ταῦτα οὐδὲν ὑπάρχει, ἐξ ἀνάγκης, ἐπεὶ ἕκαστον τούτων ἀσώματόν ἐστι, καὶ ἡ κοινὴ τῶν ἀσωμάτων σύνοδος γενήσεται ἀσώματος. ὥσπερ γὰρ καὶ ἡ σύνθεσις τῶν στιγμῶν καὶ ἡ σύνοδος τῶν γραμμῶν ἀσωμάτων φύσει καθεστηκυιῶν οὐ ποιεῖ στερεὸν καὶ ἀντί- τυπον σῶμα, οὕτω καὶ ἡ τοῦ πλάτους καὶ ἡ τοῦ μήκους ἔτι δὲ καὶ ἡ τοῦ βάθους συνέλευσις ἀσώματος οὖσα οὐκ ἂν ποιήσαι στερεὸν καὶ ἀντίτυπον σῶμα. εἰ δὲ μήτε χωρὶς τούτων ἐστὶ τὸ σῶμα μήτε ταῦτʼ ἐστιν, ἀνεπινόητον, ὅσον ἐπὶ τοῖς γεωμέτραις, γίνεται τὸ σῶμα.
3.85.1
Πρὸς τούτοις, εἴπερ μήκους καὶ πλάτους καὶ βά|θους σύνοδος ποιεῖ σῶμα, ἤτοι πρὶν τῆς συνόδου ἕκαστον τού- των νοεῖται περιέχον ἐν ἑαυτῷ τὴν σωματότητα καὶ τοὺς ὥσπερ σωματικοὺς λόγους, ἢ μετὰ τὴν τούτων συνέλευσιν ἐπισυνέστη τὸ σῶμα. καὶ εἰ μὲν ἕκαστον τούτων πρὶν τῆς συνόδου νοεῖται περιεκτικὸν τῆς σωματότητος, ἔσται τού- των ἕκαστον σῶμα καὶ οὐ μετὰ τὴν σύνοδον αὐτῶν ἐκεῖνο γενήσεται.
3.86.1
εἶτʼ ἐπεὶ τὸ σῶμα οὐ μῆκος μόνον ἐστίν, οὐδὲ πλάτος κατ᾿ ἰδίαν, οὐδὲ βάθος κατὰ περιγραφήν, ἀλλʼ ὁμόσε τὰ τρία, καὶ μῆκος καὶ πλάτος καὶ βάθος, τούτων τε ἕκαστον περιεῖχε τὴν σωματότητα, ἕκαστον αὐτῶν ἕξει τὰ τρία, καὶ τὸ μῆκος οὐ μόνον ἔσται μῆκος ἀλλὰ καὶ πλάτος καὶ βάθος, καὶ τὸ πλάτος οὐ μόνον ἔσται πλάτος ἀλλὰ καὶ μῆκος καὶ βάθος, καὶ τὸ βάθος ὁμοίως ἔσται καὶ πλάτος καὶ μῆκος. ὅπερ τελέως ἐστὶν ἀλογώτατον.
3.87.1
εἰ δὲ συνελθόντων τούτων τότε νοεῖται ἡ σύστασις τοῦ σώματος, ἤτοι συνελθόντων αὐτῶν μένει ἡ ἀρχῆθεν φύοις τοῦ 〈μὲν〉 μήκους ὡς μήκους, τοῦ δὲ πλά- τους ὡς πλάτους, τοῦ δὲ βάθους ὡς βάθους, ἢ μετα- βέβληκεν εἰς τὴν σωματότητα.
3.88.1
καὶ εἰ μὲν μένει ἡ ἀρχῆ- θεν αὐτῶν φύσις, ἐπεὶ ἀσώματά ἐστιν, οὐδὲ διάφορον ποιήσει σῶμα, ἀλλὰ καὶ μετὰ τὴν σύνοδον ἀσώματα με- νεῖ, τὴν φύσιν ὄντα ἀσώματα.
3.89.1
εἰ δὲ συνελθόντα μετα- βάλλει εἰς τὴν σωματότητα, ἐπεὶ τὸ ἐπιδεχόμενον μετα- βολὴν εὐθέως ἐστὶ σῶμα, ἕκαστον τούτων καὶ πρὶν τῆς εἰς ταὐτὸ συνόδου ἔσται σῶμα, οὕτω τε καὶ τὸ ἀσώμα- τον γενήσεται σῶμα. ὥσπερ τε τὸ σῶμα μεταβάλλον ἄλ- λην μὲν ἀντʼ ἄλλης ἔχει ποιότητα, μένει δὲ οὐδὲν ἧσσον σῶμα, οἷον τὸ λευκόν, ἵνα μέλαν γένηται, καὶ τὸ γλυκύ, ἵνα πικρόν, καὶ ὁ οἶνος, ἵνα ὄξος, καὶ ὁ μόλιβδος, ἵνα ψιμμύθιον, καὶ ὁ χαλκός, ἵνα ἰός, ἄλλην μὲν ἀντʼ ἄλλης ἀναδέχεται ποιότητα,
3.90.1
οὐκ ἐκβαίνει δὲ τοῦ σώματα εἶναι, ἀλ|λὰ καὶ τὸ μέλαν, ὅτε ἐκ λευκοῦ γέγονε μέλαν, καὶ τὸ πικρόν, ὅτε ἐκ τοῦ γλυκέος γέγονε πικρόν, καὶ τὸ ὄξος, ὅτε ἐκ τοῦ οἴνου γέγονεν ὄξος, μένει σώματα, οὕτω καὶ ταῦτα, εἴπερ μεταβάλλει εἰς σώματα, ἄλλα μὲν ἀντʼ ἄλ- λων ἔσται σώματα, σώματα δὲ οὐδὲν ἧττον οὐ γὰρ ἐκβήσεται τὴν ἰδίαν φύσιν. εἰ οὖν οὔτε πρὶν τῆς συνελεύ- σεως τούτων ἔστι νοῆσαι τὸ σῶμα οὔτε μετὰ τὴν συν- έλευσιν αὐτῶν, παρὰ δὲ ταῦτα οὐκ ἔστιν ἄλλως ἐπινοῆ- σαι, οὐδέν ἐστι σῶμα.
3.91.1
πρὸς δὲ τούτοις, εἰ μηδέν ἐστι μῆκος μηδὲ πλάτος μηδὲ βάθος, οὐδὲ τὸ κατὰ μετουσίαν τούτων νοούμενον ἔσται σῶμα οὐχὶ δέ γε μῆκος ἔστιν οὐδέ πλάτος οὐδὲ βάθος, ὡς διὰ τῶν ἔμπροσθεν παρεμυ- θησάμεθα οὐδὲ τὸ κατὰ μετουσίαν ἄρα τούτων νοούμε- νον ἔσται σῶμα.
3.92.1
Τὰς μὲν οὖν γεωμετρικὰς ἀρχὰς οὕτω συμβέβηκεν ἀν- υποστάτους εἶναι τούτων δὲ ἀναιρουμένων οὐδὲ ἄλλο τι γεωμετρικὸν θεώρημα συστῆναι δύναται. ὁποῖον γὰρ ἂν ᾖ τοῦτο, γραμμικῶς ὀφείλει ἀποδείκνυσθαι, ἐδείξαμεν δὲ ἡμεῖς ὅτι οὐδέν ἐστιν ἡ γενικὴ γραμμή, ᾧ ἀκολουθεῖ μηδὲ τῶν ἐπʼ εἴδοὺς τινὰ ὑπάρχειν, ἐάν τε εὐθεῖάν τις ταύτην ὑποτίθηται ἐάν τε κεκλασμένην ἐάν τε ἄλλως πως ἔχουσαν.
3.93.1
ὅθεν ἤρκει μὲν ἴσως ἐν τούτοις περατοῦν τὴν πρὸς τοὺς γεωμέτρας ἀντίρρησιν ὅμως δὲ ἐπαγωνιζόμε- νοι πειρασόμεθα διδάσκειν ὅτι κἂν τῶν ἀρχῶν ἀποστῶμεν τῶν τῆς γεωμετρίας, οὐ δύνανται θεώρημα συστῆσαι οἱ γεωμέτραι οὐδʼ ἀποδεῖξαι.
3.94.1
καίτοι πρὶν τούτων καὶ πρὸς τὰς ὑποβεβηκυίας αὐτῶν ἀρχὰς οὐκ ὀλίγα δυνατόν ἐστι λέγειν, οἷον ὅταν φῶσιν εὐθεῖαν εἶναι γραμμὴν τὴν ἐξ ἴσου τοῖς ἑαυτῆς μέρεσι κειμένην. ἵνα γὰρ τὰ ἄλλα παρ- ῶμεν, ἐκεῖνο μὲν συμφανές ἐστιν ὅτι τῆς γενικῆς γραμ- μῆς μὴ οὔσης οὐδὲ εὐθεῖα γραμμὴ γένοιτʼ ἄν ὡς γὰρ ζῴου μὴ ὄντος οὐδὲ ἄνθρωπος ἔστι καὶ ἀνθρώπου μὴ ὅντος οὐδὲ Σωκράτης ἔστιν, οὕτω τῆς γενικῆς ἀναιρου- μένης γραμμῆς συνανῄρηται καὶ ἡ ἐπίπεδος εὐθεῖα γραμ- μή.
3.95.1
εἶτα καὶ τὸ ἴσον λέγεται διχῶς, κατὰ ἕνα μὲν τρόπον τὸ ἰσομέγεθες καὶ μήτε ὑπερέχον ἐκείνου τοῦ ᾧ λέγεται ἴσον μήτε ὑπερεχόμενον, καθὸ καὶ τὸ πηχυαῖον ξύλον ἴσον εἶναι λέγομεν τῷ πηχυαίῳ, καθʼ ἕτερον δὲ τὸ ἔχον ἐξ ἴσου τὰ μέρη κείμενα, τουτέστι τὸ ὁμαλόν οὕτω γοῦν τὸ ‘ἴσον’ ἔδαφος καλοῦμεν ἀντὶ τοῦ ‘ὁμαλόν’.
3.96.1
διχῶς οὖν τοῦ ἴσου προσαγορευομένου, ὅταν οἱ γεωμέτραι τὴν εὐθεῖαν γραμμὴν ὑπογράφοντες φῶσιν ‘εὐθεῖά ἐστι γραμμὴ ἡ ἐξ ἴσου τοῖς ἑαυτῆς μέρεσι κειμένη’, ἤτοι τὸ κατὰ τὸ πρῶ- τον σημαινόμενον λαμβάνουσιν ἴσον ἢ τὸ κατὰ τὸ δεύτε- ρον. ἀλλʼ εἰ μὲν τὸ κατὰ τὸ πρῶτον, τελέως εἰσὶν ἀνόη- τοι οὐδένα γὰρ ἔχει νοῦν τὸ εὐθεῖαν εἶναι γραμμὴν τὴν ἰσομεγέθη τοῖς ἑαυτῆς μέρεσι καὶ μήτε ὑπερέχουσαν ταῦ- τα μήτε ὑπερεχομένην ὑπὸ τούτων.
3.97.1
εἰ δὲ τὸ κατὰ τὸ δεύτερον, διʼ αὐτοῦ τοῦ ζητουμένου διδάξουσιν, εἴγε ὅτι μέν ἐστιν εὐθεῖα παριστᾶσιν ἐκ τοῦ ὁμαλῶς τε καὶ ἐπʼ εὐθείας ἔχειν κείμενα τὰ μέρη, τὸ δὲ ἐπʼ εὐθείας τι κεῖ- σθαι οὐκ ἔστι μαθεῖν μὴ ἐπιβαλόντας τῇ εὐθείᾳ.
3.98.1
πολλῷ δὲ ἀτοπώτατοι τυγχάνουσι κἀκείνως ὁριζόμενοι ‘εὐθεῖά ἐστιν ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἑαυτῆς πέρασι στρέφεται’ ἢ οὕ- τως ‘ἥτις περὶ τὰ ἑαυτῆς πέρατα στρεφομένη πᾶσι τοῖς ἑαυτῆς μέρεσιν ἅπτεται τοῦ ἐπιπέδου.’ πρῶτον μὲν γὰρ καὶ αὗται αἱ ἀποδόσεις ὑποπίπτουσι ταῖς πρότερον ἡμῖν εἰρημέναις ἀπορίαις· εἶτα, καθὼς καὶ οἱ Ἐπικούρειοί (fr. 273 a p. 351 Us.) φασιν, ἡ τοῦ κενοῦ εὐθεῖα εὐθεῖα μέν ἐστιν, οὐ στρέφεται δὲ διὰ τὸ καὶ αὐτὸ τὸ κενὸν μήτε ὅλον μήτε κατὰ μέρος κίνησιν ἐπιδέχεσθαι.
3.99.1
ἡ μὲν γὰρ ἐπὶ τέλει ἀπόδοσις καὶ εἰς τὸν διʼ ἀλλήλων εμπίπτει τρόπον, ὅς ἐστι μοχθηρότατος. τό τε γὰρ ἐπίπεδον διὰ τῆς εὐθείας διδάσκουσι | τήν τ᾿ εὐθεῖαν διὰ τοῦ ἐπιπέ- δου εὐθεῖαν γὰρ εἶναί φασιν ἥτις εἰς πάντα τὰ μέρη τοῦ ἐπιπέδου ἅπτεται, ἐπίπεδον δὲ τυγχάνειν διʼ οὗ ἡ καταγομένη εὐθεῖα πᾶσι τοῖς μέρεσιν ἅπτεται, ὥσθ᾿ ἵνα μὲν τὴν εὐθεῖαν μάθωμεν, πρῶτον τὸ ἐπίπεδον μα- θεῖν δεῖ, ἵνα δὲ τοῦτο, ἀναγκαῖον προεγνωκέναι τὴν εὐ- θεῖαν· ὅπερ ἄτοπον. καθόλου τε ὁ διὰ τοῦ ἐπιπέδου τὴν εὐθεῖαν διδάσκων οὐδὲν ἄλλο ποιεῖ ἢ διʼ εὐθείας τὴν εὐθεῖαν παρίστησιν, ἐπείπερ τὸ ἐπίπεδον πολλαί εἰσιν εὐ- θεῖαι κατ᾿ αὐτούς.
3.100.1
Οἷος δέ ἐστιν ὁ περὶ τῆς εὐθείας λόγος, τοιοῦτος γέ- νοιτʼ ἂν καὶ ὁ περὶ τῆς γωνίας. πάλιν γὰρ ὅταν ὑπογρά- φοντες λέγωσιν ὅτι γωνία ἐστὶ δυοῖν εὐθειῶν μὴ κατάλ- ληλα κειμένων τὸ ὑπὸ τὴν κλίσιν ἐλάχιστον, ἤτοι ἐλάχι- στον λέγουσι τὸ ἀμερὲς σῶμα ἢ τὸ κατ᾿ αὐτοὺς σημεῖον καὶ στιγμήν.
3.101.1
ἀλλὰ τὸ μὲν ἀμερὲς σῶμα οὐκ ἂν εἴποιεν, ἐπείπερ τοῦτο μὲν οὐδʼ εἰς δύο μέρη δύναται διαιρεῖσθαι, ἡ δὲ γωνία κατ᾿ αὐτοὺς ἐπʼ ἄπειρον τέμνεται. καὶ ἄλλως, τῆς γωνίας ἣν μὲν μείζονά φασιν εἶναι ἣν δὲ μικροτέραν· τοῦ δὲ ἐλαχίστου σώματος οὐδέν ἐστι βραχύτερον, ἐπεὶ ἐκεῖνο ἀλλʼ οὐ τοῦτο γενήσεται ἐλάχιστον.
3.102.1
λείπεται ἄρα τὸ κατ᾿ αὐτοὺς σημεῖον εἶναι λέγειν ὓ καὶ αὐτὸ τῶν ἀπόρων. εἰ γὰρ πάντῃ πανταχῶς ἀδιάστατόν ἐστι τὸ σημεῖον, οὐ διαιρεθήσεται ἡ γωνία. καὶ μὴν οὐδὲ μείζων τις ἔσται ἢ ἐλάσσων γωνία ἐν γὰρ τοῖς μηδεμίαν ἔχουσι διάστασιν οὐκ ἂν εἴη τις κατὰ μέγεθος διαφορά.
3.103.1
ἄλλως τε, εἰ μεταξὺ τῶν εὐθειῶν πίπτει τὸ σημεῖον, διορίζει τὰς εὐθείας, διορίζον δὲ οὐκ ἔσται ἀδιάστατον.
3.104.1
νὴ Δία, ἀλλʼ εἰώθασί τινες ἐξ αὐτῶν γωνίαν λέγειν τὸ ὑπὸ τὴν κλίσιν πρῶτον διάστημα. πρὸς οὓς ἁπλοῦς ὁ μῦθος τῆς ἀληθείας ἔφυ. (Eur. Ph. 469) ἤτοι γὰρ ἀμερές ἐστι τὸ διάστημα τοῦτο ἢ μεριστόν. ἀλλʼ εἰ μὲν ἀμερές, αἱ προειρημέναι τῶν ἀποριῶν ἀκολουθή- |σουσιν αὐτοῖς, εἰ δὲ μερὶστόν, οὐδὲν ἔσται πρῶτον· τοῦ γὰρ ὑποσταθέντος πρώτου ἕτερον εὑρεθήσεται πρότερον διὰ τὴν ἀρεσκομένην αὐτοῖς εἰς ἄπειρον τῶν ὄντων τομήν.
3.105.1
Ἐῶ λέγειν ὅτι καὶ ἄλλῃ τινὶ τεχνολογίᾳ μάχεται ἡ τοιαύτη τῶν γωνιῶν νόησις. διαιρούμενοι γάρ φασι τῆς γωνίας τὴν μέν τινα εἶναι ὀρθὴν τὴν δὲ ἀμβλεῖαν τὴν δὲ ὀξεῖαν, καὶ τῆς μὲν ἀμβλείας ἄλλην καὶ ἄλλην μᾶλλον ἀμβλυτέραν εἶναι, ὡσαύτως δὲ καὶ τῆς ὀξείας.
3.106.1
εἰ δὴ γω- νίαν φαμὲν τὸ ἐλάχιστον ὑπὸ τὴν κλίσιν διάστημα, οὐ σωθήσονται αἱ τοιαῦται τῶν γωνιῶν διαφοραί, παρόσον ὑπερέχουσί τε ἀλλήλας καὶ ὑπερέχονται ὑπʼ ἀλλήλων. ἢ εἴπερ [οὐ] σῴζονται, ἀναιρεῖται ἡ γωνία, μὴ ἔχουσα ἑστη- κὸς μέτρον ᾧ διαγνωσθήσεται.
3.106.2
Περὶ μὲν οὖν εὐθείας γραμμῆς καὶ γωνίας τοιαῦτα ῥη- τέον πρὸς αὐτούς·
3.107.1
ὁριζόμενοι δὲ καὶ τὸν κύκλον φασὶ ‘κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περι- εχόμενον, πρὸς ἣν αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις’ ματαιάζοντες· τοῦ γὰρ ση- μείου καὶ τῆς γραμμῆς καὶ τῆς εὐθείας καὶ ἔτι τοῦ ἐπι- πέδου [καὶ 〈τῆς〉 γωνίας] ἀνῃρημένων οὐδὲ κύκλος ἐπι- νοηθῆναι δύναται.
3.108.1
Ἀλλ᾿ ἵνα μὴ δοκῶμεν σοφιστικοί τινες εἶναι καὶ τὴν σύμπασαν τῆς ἀντιρρήσεως κατασκευὴν ἐν μόνας καταν- αλίσκειν ταῖς τῆς γεωμετρίας ἀρχαῖς, φέρε μετελθόντες, ὡς πρότερον (§ 93) ὑπεσχόμεθα, καὶ τὰ μετὰ τὰς ἀρχὰς αὐτῶν θεωρήματα ἐπισκεψώμεθα.
3.109.1
ὅταν οὖν λέγωσι τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν δίχα τεμεῖν, ἤτοι τὴν ἐπὶ τοῦ ἄβακος διδομένην λέγουσι διχοτομεῖν ἢ τὴν ἀπὸ ταύτης κατὰ μετάβασιν νοουμένην. οὔτε δὲ τὴν ἐπὶ τοῦ ἄβακος δοθεῖ- σαν διχοτομεῖν ἐροῦσιν· αὕτη μὲν γὰρ μῆκος καὶ πλάτος αἰσθητὸν ἔχειν φαίνεται, ἡ δὲ κατ᾿ αὐτοὺς εὐθεῖα γραμμὴ μῆκός ἐστιν ἀπλατές, ὥστε μὴ οὖσα κατ᾿ αὐτοὺς [ἡ] γραμμὴ | ἡ ἐπὶ τοῦ ἄβακος οὐδὲ δίχα τμηθήσεταμι ὡς γραμμή.
3.110.1
καὶ μὴν οὐδὲ ἡ ἀπὸ ταύτης κατὰ μετάβασιν νοουμένη. ὑποκείσθω γὰρ λόγου χάριν ἐξ ἐννέα στιγμῶν συνεστῶσα, ἀφʼ ἑκατέρου μὲν τῶν ἄκρων τεσσάρων καὶ τεσσάρων ἀριθμουμέτων, μιᾶς δὲ τὰς δύο τετράδας μεσο- λαβούσης στιγμῆς. οὐκοῦν εἰ δίχα τέμνεται ἡ ὅλη γραμμή, ἤτοι μεταξὺ ταύτης τῆς πέμπτης στιγμῆς καὶ τῆς ἑτέρας τετράδος ἐνεχθήσεται τὸ τέμνον, ἢ κατ᾿ αὐτῆς τῆς πέμ- πτης, ὥστε καὶ αὐτὴν διχάζειν.
3.111.1
τὸ μὲν οὖν μεταξὺ τῆς πέμπτης στιγμῆς καὶ τῆς ἑτέρας τετράδος φέρεσθαι τὸ τέμνον τῶν ἀλόγων· γενήσεται γὰρ ἄνισα τὰ τμήματα, καὶ τὸ μὲν ἐκ τεσσάρων στιγμῶν συγκείμενον τὸ δὲ ἐκ πέντε. τὸ δὲ αὐτἦν διχάζειν τὴν στιγμὴν πολλῷ τοῦ προτέρου ἀλογώτερον οὐκέτι γὰρ ἀδιάστατον ἀπολεί- ψουσι τὸ σημεῖον, ὅ γε διχάζεται πρὸς τοῦ τέμνοντος.
3.112.1
ὁ δὲ αὐτὸς λόγος καὶ ἐπειδὰν φῶσι τὸν κύκλον εἰς ἴσα τέμνειν. εἰ γὰρ ὁ κύκλος εἰς ἴσα τέμνεται, πάντως ἐπεὶ μεσαίτατον ἔχει τὸ κέντρον, ὃ καὶ αὐτό ἐστι σημεῖον, ἤτοι τῷδε τῷ τμήματι ἢ τῷδε [τινι] προσμερισθήσεται, ἢ καὶ αὐτὸ δίχα τμηθήσεται. ἀλλὰ τὸ μὲν τῷδε ἢ τῷδε προσμερισθῆναι ἄνισον τὴν διχοτόμησιν ποιεῖ, τὸ δὲ καὶ αὐτὸ διχοτομεῖσθαι μαχόμενόν ἐστι τῷ ἀδιάστατον καὶ ἀμερές ὑπάρχειν τὸ σημεῖον.
3.113.1
τό τε τέμνον τὴν γραμμὴν ἤτοι σῶμά ἐστιν ἢ ἀσώματον. οὔτε δὲ σῶμα δύναται τυγχάνειν ἀθιγὲς γάρ τι καὶ ἀσώματον καὶ μὴ ὑποπῖπτον αὑτῷ οὐκ ἂν τέμοι οὔτε ἀσώματον, τουτὶ γὰρ πάλιν εἰ μὲν στιγμή ἐστι, τῷ ἀμερὴς εἶναι καὶ κατὰ ἀμεροῦς πίπτειν οὐκ ἂν τέμοι, εἰ δὲ γραμμή, πάλιν ἐπεὶ τῷ πέρατι ἑαυτῆς ὀφείλει τέμνειν, τὸ δὲ πέρας αὐτῆς ἐστιν ἀμερές, οὐ τέμνει.
3.114.1
ἄλλως τε τὸ τέμνον πέρας ἤτοι μέσον τῶν δυοῖν στιγμῶν πῖπτον διχοτομεῖ τὴν γραμμήν, ἢ κατὰ μέσου φερόμενον τοῦ σημείου. ἀλλὰ τὸ μὲν κατὰ μέσου φέρεσθαι τοῦ σημείου τῶν ἀδυνάτων· δεήσει γάρ, ὡς πρότερον (§ 111 sq.) ἐλέγομεν, τὸ καθʼ οὗ φέρεται με- ριστὸν εἶναι καὶ μηκέτι ἀδιάστατον τυγχάνειν.
3.115.1
μεταξὺ δὲ τῶν δυοῖν στιγμῶν φέρεσθαι πολλῷ ἀλογώτερον. πρῶτον μὲν γὰρ οὐδὲν δύναται μεταξὺ συνεχείας μέσον πεσεῖν πέρας· εἶτα κἂν δοθῇ τὸ τοιοῦτον ὡς δυνατόν, ὀφείλει μετακινεῖν τὰ ὧν μεταξὺ τάσσεται, εἶπερ ἐστὶ συνεχῆ· ταῦτα δʼ ἐστὶν ἀκίνητα. τοίνυν ἄπορος καὶ ὁ περὶ τοῦ τέμνοντός ἐστι λόγος.
3.116.1
οὐ μὴν ἀλλὰ κἂν δῶμεν αὐ- τοῖς τὰς ἀφαιρέσεις ποιεῖσθαι ἐπὶ τῶν αἰσθητῶν τούτων γραμμῶν, οὐ δυνήσονται οὐδʼ οὕτως εὐοδῆσαι. γὰρ ἀφʼ ὅλης τῆς γραμμῆς ἡ ἀφαίρεσις γενήσεται ἀπὸ μέρους, καὶ τὸ ἀφαιρούμενον ἴσον ἀπὸ ἴσου ἢ ἄνισον ἀπὸ ἀνίσου [ἢ ἐναλλὰξ] γενήσεται· οὐδὲν δὲ τούτων ἐστὶν εὔπορον, ὡς ἐν τῷ Πρὸς τοὺς γραμματικοὺς (M I 162) καὶ ἐν τῷ Πρὸς τοὺς φυσικοὺς (M IX 279 et 294) ὑπομνήματι παρ- εστήσαμεν· οὐκ ἄρα δυνατόν ἐστι τοῖς γεωμέτραις ἀφαι- ρεῖν τι καὶ τέμνειν ἀπὸ γραμμῆς.
4.1.1
Ἐπειδὴ τοῦ ποσοῦ τὸ μέν ἐστιν ἐν τοῖς συνεχέσι σώ- μασιν, ὃ δὴ μέγεθος καλεῖται, περὶ ὅ ἐστι μάλιστα ἡ γεωμετρία, τὸ δὲ ἐν διεστῶσιν, ὅπερ ἀριθμὸς καθέστη- κεν, περὶ ὃν ἡ ἀριθμητικὴ καταγίνεται, σκοπῶμεν ἀπὸ τῶν γεωμετρικῶν τε ἀρχῶν καὶ θεωρημάτων μετελθόν- τες καὶ τὰ περὶ ἀριθμοῦ τούτου γὰρ ἀναιρεθέντος οὐδʼ ἡ περὶ αὐτὸν συνισταμένη γενήσεται τέχνη.
4.2.1
Καθόλου μὲν οὖν οἱ ἀπὸ τῶν μαθημάτων Πυθαγορι- κοὶ μεγάλην ἀπονέμουσι δύναμιν τοῖς ἀριθμοῖς ὡς τῆς τῶν ὅλων φύσεως κατ’ αὐτοὺς διοικουμένης. ὅθεν καὶ ἀεί ποτε ἐπεφώνουν τὸ (Simpl. in Arist. phys. p.1102,22 Diels) ἀριθμῷ δέ τε πάντʼ ἐπέοικεν, | ὀμνύοντες οὐ μόνον τὸν ἀριθμὸν ἀλλὰ καὶ τὸν ὑποδεί- ξαντα αὐτοῖς τοῦτον Πυθαγόραν ὡς θεὸν διὰ τὴν ἐν ἀριθ- μητικῇ δύναμιν, λέγοντες οὐ μὰ τὸν ἁμετέρᾳ ψυχᾷ παραδόντα τετρακτύν, παγὰν ἀενάου φύσεως ῥιζώματ’ ἔχουσαν. (B 15 Diels)
4.3.1
τετρακτὺς δὲ προσηγορεύετο παῤ αὐτοῖς ὁ ἐκ τῶν πρώ- των 〈δ΄〉 ἀριθμῶν συγκείμενος ‘τέταρτος ἀριθμός’. ἓν γὰρ καὶ δύο καὶ τρία καὶ τέσσαρα δέκα γίνεται ὅς ἐστι τελειό- τατος ἀριθμός, ἐπείπερ ἐπʼ αὐτὸν φθάσαντες πάλιν ἀνα- λύομεν ἐπὶ τὴν μονάδα καὶ ἐξ ὑπαρχῆς ποιούμεθα τὰς ἀριθμήσεις. πηγὴν δὲ ἀενάου φύσεως ῥιζώματ’ ἔχουσαν εἰρήκασιν αὐτὸν διὰ τὸ κατ’ αὐτούς ἐν αὐτῷ τὸν λόγον τῆς ἁπόντων κεῖσθαι συστάσεως, οἷον εὐθέως τοῦ τε σώ- ματος καὶ τῆς ψυχῆς· ἀπαρκέσει γὰρ τούτων ὑποδειγ- ματικῶς μεμνῆσθαι.
4.4.1
ἡ μὲν οὖν μονὰς ἀρχή τις ὑπόκει- ται τῆς τῶν ἄλλων ἀριθμῶν ἀπεργαστικὴ συστάσεως, ἡ δὲ δυὰς μήκους ἐστὶν ἀπεργαστική. καθάπερ γὰρ ἐπὶ τῶν γεωμετρικῶν ἀρχῶν (M III 19 sqq.) ὑπεδείξαμεν πρῶτον, τίς ἐστιν ἡ στιγμή, εἶτα μετ’ αὐτὴν ἡ γραμ- μὴ μῆκος ἀπλατές τυγχάνουσα, τὸν αὐτὸν τρόπον καὶ ἐπὶ τοῦ παρόντος ἡ μὲν μονὰς τὸν τῆς στιγμῆς ἐπέχει λόγον, ἡ δὲ δυὰς τὸν τῆς γραμμῆς καὶ τοῦ μήκους· πσθὲν γάρ ποι ἐχώρησεν ἡ διάνοια ταύτην ἐννοουμένη, τοῦτο δʼ ἦν μῆκος.
4.5.1
ἡ δὲ τριὰς ἐπὶ τοῦ πλάτους καὶ τῆς ἐπιφα- νείας ἐτέτακτο ποθὲν γάρ ποι 〈καὶ πάλιν ποι〉 ἐφέρετο ὁ νοῦς. καὶ προστιθεμένης τῇ κατὰ μῆκος διαστάσει τῆς κατὰ πλάτος διαστάσεως ἐπιφάνειανοεῖται. ἀλλὰ κἂν ἐπιθεωρήσῃ τις τῇ τριάδι τετάρτην μονάδα, τουτέστι τέταρτον ση- μεῖον, γίνεται πυραμίς, στερεὸν σῶμα καὶ σχῆμα· καὶ γὰρ μῆκος ἔχει καὶ πλάτος καὶ βάθος ὥστε ἐν τῷ ‘τε- τάρτῳʼ ἀριθμῷ τὸν τοῦ σώμα|τος περιέχεσθαι λόγον.
4.6.1
καὶ μὴν καὶ τὸν τῆς ψυχῆς· ὡς γὰρ τὸν ὅλον κόσμον κατὰ ἁρμονίαν λέγουσι διοικεῖσθαι, οὕτω καὶ τὸ ζῷον ψυχοῦ- σθαι. δοκεῖ δὲ ἡ τέλειος ἁρμονία ἐν τρισὶ συμφωνίαις λαμβάνειν τὴν ὑπόστασιν, τῇ τε διὰ τεττάρων καὶ τῇ διὰ πέντε καὶ τῇ διὰ πασῶν. ἡ μὲν οὖν διὰ τεσσάρων ἐν ἐπιτρίτῳ κεῖται λόγῳ, ἡ δέ διὰ πέντε ἐν ἡμιολίῳ, ἡ δέ διὰ πασῶν ἐν διπλασίονι.
4.7.1
ἐπίτριτος δὲ λέγεται ἀριθμὸς ὁ ἐξ ὅλου τινὸς ἀριθμοῦ συνεστηκὼς καὶ ἐκ τοῦ τρίτου μέ- ρους ἐκείνου, ὡς ἔχει ὁ ὀκτὼ πρὸς τὸν ἕξ καὶ γὰρ αὐτὸν τὸν ἓξ περιέσχηκε καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ, τουτέστι τὴν δυά- δα. ἡμιόλιος δὲ καλεῖται, ὅταν περιέχῃ ἀριθμὸς ἀριθμὸν καὶ τὸ ἥμισυ ἐκείνου, ὡς ἔχει ὁ ἐννέα πρὸς τὸν ἕξ· συν- έστηκε γὰρ ἐκ τοῦ ἓξ καὶ ἐκ τοῦ ἡμίσεος αὐτοῦ, τουτέστι τῶν τριῶν. διπλασίων δέ προσαγορεύεται ὁ δυσὶν ἀριθμοῖς 〈ἴσοις〉 ἴσος, ὡς ὁ τέσσαρα πρὸς τὸν δύο δὶς γὰρ τὸν αὐτὸν περιέσχηκεν.
4.8.1
ἀλλὰ γὰρ τούτων οὕτως ἐχόντων, καὶ κατὰ τὴν ἀρχῆθεν ὑπόθεσιν τεσσάρων ὄντων ἀριθμῶν, τοῦ τε ἑνὸς καὶ δύο καὶ τρία καὶ τέσσαρα, ἐν οἷς ἐλέγο- μεν καὶ τὴν τῆς ψυχῆς ἰδέαν περιέχεσθαι κατὰ τὸν ἐν- αρμόνιον λόγον, ὁ μὲν τέσσαρα τοῦ δύο καὶ ὁ δύο τῆς μονάδος ἐστὶ διπλασίων, ἐν ᾧ ἔκειτο ἡ διὰ πασῶν συμ- φωνία,
4.9.1
ὁ δὲ τρία τοῦ δύο ἡμιόλιος (καὶ γὰρ αὐτὸν τὸν δύο περιέσχηκε καὶ τὸ ἥμισυ τούτου, ὅθεν καὶ τὴν διὰ πέντε συμφωνίαν ὑποβάλλειν), ὁ δὲ τέσσαρα τοῦ τρία ἐπίτριτος, ὑπέκειτο δὲ καὶ ἐν τούτῳ ἡ διὰ τεσσάρων συμ- φωνία. ὥστε εἰκότως τὸν ‘τέταρτον ἀριθμὸν’ παρὰ τοῖς Πυθαγορικοῖς εἰρῆσθαι πηγὴν ἀενάου φύσεως ῥιζώματ’ ἔχουσαν.
4.10.1
Ἀλλʼ ὅτι μὲν πολλὴν δύναμιν ἀπένεμον τοῖς ἀριθμοῖς, ἐκ τούτων συμφανές ὑποδειγματικώτερον εἰρημέ|νων· πο- λὺς γὰρ ὁ περὶ ἀριθμῶν παρʼ αὐτοῖς ἐστὶ λόγος, ὃν ἐάσαν- τες τὰ νῦν μηκύνειν ἁπτώμεθα τῆς ἀντιρρήσεως, τὴν ἀρχὴν τῶν λόγων ἀπὸ μονάδος ποιησάμενοι, ἥτις ἀρχὴ παντὸς ἀριθμοῦ καθέστηκε καὶ ἧς ἀναιρουμένης οὐδʼ ἔστιν ἀριθμός.
4.11.1
Τὴν τοῦ ἑνὸς τοίνυν νόησιν διατυπῶν ἡμῖν πυθαγορι- κώτερον ὁ Πλάτων φησὶν ‘ἕν ἐστιν οὗ μηδὲν χωρίς λέ- γεται ἕν’ ἢ ‘οὗ μετοχῇ ἕκαστον ἕν τε καὶ πολλὰ λέγε- ται᾿. τὸ γὰρ φυτόν, εἰ τύχοι, καὶ τὸ ζῶον καὶ ὁ λίθος προσαγορεύεται μὲν ἕν, οὐκ ἔστι δὲ κατὰ τὸν ἴδιον λόγον ἕν, ἀλλʼ ἓν μετοχῇ ἑνὸς νοεῖται, τούτου μηδενὸς τούτων καθεστῶτος.
4.12.1
οὔτε γὰρ φυτὸν οὔτε ζῷον οὔτε λίθος οὔτε ἄλλο τι τῶν ἀριθμητῶν τὸ ὄντως ἕν ἐστιν. εἰ γὰρ φυτόν ἐστιν ἢ ζῷον τὸ ἕν, πάντως ὃ μὴ φυτόν ἐστι μηδὲ ζῷον οὐ ῥηθήσεται ἕν λέγεται δὲ καὶ φυτὸν ἓν καὶ ζῷον καὶ ἄλλα μυρία·
4.13.1
οὐδὲν ἄρα τῶν ἀριθμητῶν ἐστι 〈τὸ〉 ἕν, τὸ δὲ οὗ ἕκαστον 〈μετέχον ἕν τε καὶ πολλὰ γίνεται·〉 ἓν μὲν καθʼ ἑαυτὸ ἕκαστον, πολλὰ δέ ἀθροισμῷ [μετέχον, ἕν τε και πολλά γίνεται] τῶν καθʼ ἕκαστον. ὅπερ πάλιν πλῆθος οὐδέν ἐστι τῶν πολλῶν, οἷον φυτῶν ζῴων λίθων κατὰ μετοχὴν μὲν γὰρ ἐκείνου ταῦτα λέγεται πολλά, αὐτὸ δὲ οὔκ ἐστιν ἐν τούτοις.
4.14.1
πλὴν τοιαύτη μὲν ἡ τοῦ ἑνὸς ἰδέα νοεῖται τοῖς περὶ τὸν Πλάτωνα· ἐπισυν- άπτοντες δὲ ἡμεῖς λεγωμεν. ἤτοι ἑτέρα τῶν κατὰ μέρος ἀριθμητῶν ἐστιν ἡ τοῦ ἑνὸς ἰδέα, ἢ σύν ἐκείνοις τοῖς μετέχουσιν αὐτῆς νοεῖται. ἀλλὰ καθ αὑτὴν μέν 〈οὐχ ὑφέστηκεν, εἴγε〉 παρὰ τὸ κατὰ μέρος ἀριθμητὰ οὐδὲν νοεῖται ἓν ὑποκείμενον. λείπεται ἄρα ἐν ἐκείνοις τοῖς μετ- έχουσιν αὐτοῦ νοεῖσθαι, ὃ πάλιν τῶν ἀπόρων.
4.15.1
τὸ γὰρ ἀριθμητὸν ξύλον εἰ μετοχῇ μονάδος ἐστὶν ἕν, ὃ μή ἐστι ξύλον οὐ λεχθήσεται ἕν λέγεται δέ γε, ὡς ἀνώτερον (v. 7) ὑποδέδεικται οὐκ ἄρα ἐστὶν ἡ μονὰς ἧς μετοχῇ ἓκαστον τῶν κατὰ μέρος ἀριθμητῶν μονὰς προσαγορεύε- ται.
4.16.1
εἶτα τὸ πολλοῖς μετε|χόμενον πολλά ἐστι καὶ οὐχ ἕν, τὰ δὲ ἀριθμητὰ πολλά τέ ἐστι καὶ ἄπειρα· οὐκ ἄρα μετοχῇ τῆς μονάδος ἕκαστον τῶν ἀριθμητῶν ἕν ἐστιν.
4.17.1
ὥσπερ οὖν ὁ γενικὸς ἄνθρωπος, ὅν τινες νοοῦσι ζῷον θνητὸν λογικόν, οὔτε Σωκράτης ἐστὶν οὔτε Πλάτων, ἐπει- δὴ οὐδεὶς ἕτερος λεχθήσεται ἄνθρωπος, οὔτε καθʼ ἑαυ- τὸν ὑφέστηκεν οὔτε μετὰ Πλάτωνος καὶ Σωκράτους, ἐπεὶ ἐθεωρεῖτο ἂν ὡς ἄνθρωπός 〈τις〉, οὕτω καὶ τὸ ἓν μήτε σὺν τοῖς κατὰ μέρος ἀριθμητοῖς μήτε καθʼ ἑαυτὸ ὑφεστηκὸς νοούμενον εὐθέως ἐστὶν ἀνεπινόητον.
4.18.1
τὰ δὲ αὐτὰ λεκτέον καὶ ἐπὶ τοῦ δύο ἢ καὶ τρία καὶ καθ- όλου ἐπὶ παντὸς ἀριθμοῦ, ἵνα μὴ μηκύνωμεν. ἔνεστι δὲ καὶ οὕτως συνερωτᾶν. ἡ τοῦ ἑνὸς ἰδέα, ἧς μετοχῇ τι ἓν λέγεται, ἤτοι μία ἐστὶν ἰδέα ἢ τοῦ ἑνὸς πλείους ἰδέαι τυγχάνουσιν. ἀλλʼ εἰ μέν μία ἐστίν, 〈ἤτοι ἀμερής ἢ πο- λυμερής ἐστιν· εἰ δὲ ἀμερής,〉 οὐ πολλοῖς μετέχεται τοῦ γὰρ Α, εὐσήμου χάριν διδασκαλίας, τὴν ὅλην τοῦ ἑνὸς ἰδέαν ἔχοντος, τὸ Β μὴ μετέχον ταύτης οὐκέτʼ ἔσται ἕν. καὶ μὴν οὐδὲ πολυμερὴς καθέστηκεν,
4.19.1
ἵνα πολλὰ ᾖ τὰ μετ- έχοντα ταύτης· πρῶτον μέν γὰρ ἔσται ἕκαστον οὐ τῆς τοῦ ἑνὸς ἰδέας μετέχον, μέρους δὲ αὐτῆς, εἶτα καὶ ἡ μο- νὰς ἀδιαίρετος καὶ ἀμερὴς ἐνοεῖτο κατ’ αὐτούς. εἰ δέ πλείους εἰσὶν ἰδέαι τοῦ ἑνός, 〈ὡς〉 ἕκαστον τῶν καθʼ ἓν τασσομένων ἀριθμητῶν 〈ἰδίας τινὸς μετέχειν ἰδέας〉, ἤτοι 〈ἡ〉 τοῦ Α 〈καὶ〉 ἡ τοῦ Β [καθ’ ἓν ἑκάτερον] μετέχει τινὸς κοινῆς ἰδέας 〈καθʼ ἣν ἑκάτερον αὐτῶν προσαγο- ρεύεται ἕν〉, ἢ οὐ μετέχει.
4.20.1
καὶ εἰ μὲν οὐ μετέχει, δεήσει καὶ ἅπαντα δίχα τοῦ μετέχειν ἰδέας κατὰ τὸ ἓν τετάχθαι, ὅπερ οὐ θέλουσιν. εἰ δὲ μετέχει, ἡ ἐξ ἀρχῆς συνεισαχθή- σεται ἀπορία· πῶς γὰρ μιᾶς τὰ δύο μεθέξει;
4.20.2
Ταῦτα μὲν οὖν περὶ μονάδος, ἧς ἀνῃρημένης πᾶς ἀνῄ- ρηται ὁ ἀριθμός·

First Thousand Years of Greek. CTS URN tlg0544.tlg002.1st1K-grc1. Via the Perseus Digital Library / Open Greek and Latin TEI corpora. Licence: Available under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License. Source.