Data

First Thousand Years of Greek · First Thousand Years of Greek · 331 sections

toc.1
α΄. Δεδομένα τῷ μεγέθει λέγεται χωρία τε καὶ γραμμαὶ καὶ γωνίαι, οἷς δυνάμεθα ἴσα πορίσασθαι.
toc.2
β΄. Λόγος δεδόσθαι λέγεται, ᾧ δυνάμεθα τὸν αὐτὸν πορίσασθαι.
toc.3
γʹ. Εὐθύγραμμα σχήματα τῷ εἴδει δεδόσθαι λέγεται, ὧν αἵ τε γωνίαι δεδομέναι εἰσὶ κατὰ μίαν καὶ οἱ λόγοι τῶν πλευρῶν πρὸς ἀλλήλας δεδομένοι.
toc.4
δʹ. Τῇ θέσει δεδόσθαι λέγονται σημεῖά τε καὶ γραμμαὶ καὶ γωνίαι, ἃ τὸν αὐτὸν ἀεὶ τόπον ἐπέχει. εʹ. Κύκλος τῷ μεγέθει δεδόσθαι λέγεται, οὗ δέδοται ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῷ μεγέθει.
toc.5
ϛʹ. Τῇ θέσει δὲ καὶ τῷ μεγέθει κύκλος δεδό- σθαι λέγεται, οὗ δέδοται τὸ μὲν κέντρον τῇ θέσει, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τῷ μεγέθει.
toc.6
ζ΄. Τμήματα κύκλων τῷ μεγέθει δεδόσθαι λέ- γεται, ἐν οἷς αἱ γωνίαι δεδομέναι εἰσὶ καὶ αἱ βάσεις τῶν τμημάτων τῷ μεγέθει.
toc.7
η΄. Τῇ θέσει δὲ καὶ τῷ μεγέθει τμήματα δε- δόσθαι λέγεται, ἐν οἷς αἵ τε γωνίαι δεδομέναι εἰσὶ τῷ μεγέθει καὶ αἱ βάσεις τῶν τμημάτων τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει.
toc.8
θʹ. Μέγεθος μεγέθους δοθέντι μεῖζόν ἐστιν, ὅταν, ἀφαιρεθέντος τοῦ δοθέντος, τὸ λοιπὸν τῷ αὐτῷ ἴσον ᾖ.
toc.9
ιʹ. Μέγεθος μεγέθους δοθέντι ἔλασσόν ἐστιν, ὅταν, προστεθέντος τοῦ δοθέντος, τὸ ὅλον τῷ αὐτῷ ἴσον ᾖ.
toc.10
ια΄. Μέγεθος μεγέθους δοθέντι μεἵζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ, ὅταν, ἀφαιρεθέντος τοῦ δοθέντος, τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἔχῃ δεδομένον.
toc.11
ιβ΄. Μέγεθος μεγέθους δοθέντι ἔλασσόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ, ὅταν, προστεθέντος τοῦ δοθέντος, τὸ ὅλον πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἔχῃ δεδομένον.
toc.12
[ιγʹ. Κατηγμένη ἐστὶν ἡ ἀπὸ δεδομένου σημείου ἐπὶ θέσει εὐθεῖαν ἀγομένη εὐθεῖα ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ.
toc.13
ιδʹ. Ἀνηγμένη ἐστὶν ἡ ἀπὸ δεδομένου σημείου πρὸς θέσει εὐθείᾳ ἀγομένη εὐθεῖα ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ.
toc.14
ιεʹ. Παρὰ θέσει ἐστὶν ἡ διὰ δεδομένου σημείου θέσει εὐθείᾳ παράλληλος ἀγομένη.]
1.1
Τῶν δεδομένων μεγεθῶν ὁ λόγος ὁ πρὸς ἄλληλα δέδοται.
1.2
ἔστω δεδομένα μεγέθη τὰ Α, Β· λέγω, ὅτι τοῦ Α πρὸς τὸ Β λόγος ἐστὶ δοθείς.
1.3
ἐπεὶ γὰρ δέδοται τὸ Α, δυνατόν ἐστιν αὐτῷ ἴσον πορίσασθαι. πεπορίσθω καὶ ἔστω τὸ Γ. πάλιν, ἐπεὶ δεδομένον ἐστὶ τὸ Β, δυνατόν ἐστιν αὐτῷ ἴσον πορί- σασθαι. πεπορίσθω καὶ ἔστω τὸ Δ. ἐπεὶ οὗν ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν Α τῷ Γ, τὸ δὲ Β τῷ Δ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Β πρὸς τὸ Δ· ἐναλλὰξ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ πρὸς τὸ Δ. τοῦ Α ἄρα πρὸς τὸ Β λόγος ἐστὶ δοθείς· ὁ αὐτὸς γὰρ αὐτῷ πε- πόρισται ὁ τοῦ Γ πρὸς τὸ Δ.
2.1
Ἐὰν δεδομένον μέγεθος πρὸς ἄλλο τι μέγεθος λό- γον ἔχῃ δεδομένον, δέδοται κᾀκεῖνο τῷ μεγέθει. δεδομένον γὰρ μέγεθος τὸ Α πρὸς ἄλλο τι μέγεθος τὸ Β λόγον ἐχέτω δεδομένον· λέγω, ὅτι δέδοται καὶ τὸ Β τῷ μεγέθει.
2.2
ἐπεὶ γὰρ δέδοται τὸ Α, δυναπτόν ἐστιν αὐτῷ ἴσον πορίσασθαι. πεπορίσθω καὶ ἔστω τὸ Γ. καὶ ἐπεὶ δέδοται ὁ τοῦ Α πρὸς τὸ Β λόγος· οὕτως γὰρ ὑπό- κειται· δυνατόν ἐστιν αὐτῷ τὸν αὐτὸν πορίσασθαι. πεπορίσθω καὶ ἔστω ὁ τοῦ Γ πρὸς τὸ Δ λόγος. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, ἐναλλὰξ ἄρᾳ ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Β πρὸς τὸ Δ. ἴσον δὲ τὸ Α τῷ Γ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ Β τῷ Δ· δέδοται ἄρα τὸ Β μέγεθος· ἴσον γὰρ αὐτῷ πεπόρισται τὸ Δ.
3.1
Ἐὰν δεδομένα μεγέθη ὁποσαοῦν συντεθῇ, καὶ τὸ ἐξ αὐτῶν συγκείμενον δεδομένον ἔσται.
3.2
συγκείσθω γὰρ ὁποσαοῦν δεδομένα μεγέθη τὰ ΑΒ, ΒΓ· λέγω, ὅτι καὶ τὸ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ συγκείμενον τὸ ΑΓ δεδομένον ἐστίν.
3.3
ἐπεὶ γὰρ δέδοται τὸ ΑΒ, δυνατόν ἐστιν αὐτῷ ἴσον πορίσασθαι. πεπορίσθω καὶ ἔστω τὸ ΔΕ. πάλιν, ἐπεὶ δέδοται τὸ ΒΓ, δυνατόν ἐστιν αὐτῷ ἴσον πορίσασθαι. πεπορίσθω καὶ ἔστω τὸ ΕΖ. ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΑΒ τῷ ΔΕ, τὸ δὲ ΒΓ τῷ ΕΖ, ὅλον ἄρα τὸ ΑΓ ὅλῳ τῷ ΔΖ ἐστιν ἴσον· δέδοται ἄρα τὸ ΑΓ· ἴσον γὰρ αὐτῷ πεπόρισται τὸ ΔΖ.
4.1
Ἐὰν ἀπὸ δεδομένου μεγέθους δεδομένον μέγεθος ἀφαιρεθῇ, τὸ λοιπὸν δεδομένον ἔσται.
4.2
ἀπὸ γὰρ δεδομένου μεγέθους τοῦ ΑΒ δεδομένον μέγεθος ἀφῃρήσθω τὸ ΑΓ· λέγω, ὅτι τὸ λοιπὸν τὸ ΓΒ δεδομένον ἐστίν.
4.3
ἐπεὶ γὰρ δέδοται τὸ ΑΒ, δυνατόν ἐστιν αὐτῷ ἴσον πορίσαςθαι. πεπορίσθω καὶ ἔστω τὸ ΔΖ. πάλιν, ἐπεὶ δέδοται τὸ ΑΓ, δυνατόν ἐστιν αὐτῷ ἴσον πορίσασθαι. πεπορίσθω καὶ ἔστω τὸ ΔΕ. ἐπεὶ οὗν ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΑΒ τῷ ΔΖ, τὸ δὲ ΑΓ τῷ ΔΕ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΓ λοιπῷ τῷ ΕΖ ἐστιν ἴσον· δέδοται ἄρα το ΒΓ. ἴσον γὰρ αὐτῷ πεπόρισται τὸ ΕΖ.
5.1
Ἐὰν μέγεθος πρὸς ἑαυτοῦ τι μέρος λόγον ἔχῃ δεδο- μένον, καὶ πρὸς τὸ λοιπὸν λόγον ἕξει δεδομένον.
5.2
μέγεθος γὰρ τὸ ΑΒ πρὸς ἑαυτοῦ τι μέρος τὸ Α λόγον ἐχέτω δεδομένον· λέγω, ὅτι καὶ πρὸς τὸ λοιπὸν τὸ ΒΓ λόγον ἔχει δεδομένον.
5.3
κείσθω γὰρ δεδομένον μέγεθος τὸ ΔΖ. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ δοθεὶς ὁ τοῦ ΒΑ πρὸς τὸ ΑΓ, ὁ αὐτὸς αὐτῷ πεπορίσθω ὁ τοῦ ΖΔ πρὸς ΔΕ. λόγος ἄρα ἐστὶν ὁ τοῦ ΖΔ πρὸς ΔΕ δοθείς. δοθὲν δὲ τὸ ΖΔ. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΔΕ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΖ δοθέν ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΔΖ δοθέν· λόγος ἄρα τοῦ ΔΖ πρὸς τὸ ΖΕ δοθείς. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΔΖ πρὸς ΔΕ, οὕτως καὶ τὸ ΑΒ πρὸς ΑΓ, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ΖΕ, οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ. λόγος δὲ τοῦ ΔΖ πρὸς ΖΕ δοθείς, ὡς δέ- δεικται· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ δοθείς.
6.1
Ἐὰν δύο μεγέθη συντεθῇ πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχοντα δεδομένον, καὶ τὸ ὅλον πρὸς ἑκάτερον αὐτῶν λόγον ἕξει δεδομένον.
6.2
συγκείσθω γὰρ δύο μεγέθη τὰ ΑΓ, ΓΒ, πρὸς ἄλ- ληλα λόγον ἔχοντα δεδομένον· λέγω, ὅτι καὶ ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΓ, ΓΒ λόγον ἔχει δεδομένον.
6.3
ἐκκείσθω γὰρ δεδομένον μέγεθος τὸ ΔΕ. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΓ πρὸς ΓΒ δοθείς, ὁ αὐτὸς αὐτῷ πεποιήσθω ὁ τοῦ ΔΕ πρὸς ΕΖ. ὁ ἄρα τοῦ ΔΕ πρὸς ΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς· δοθὲν δὲ τὸ ΔΕ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΕΖ· καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΔΖ δοθέν ἐστιν. ἔστι δὲ ἑκάτερον τῶν ΔΕ, ΕΖ δοθέν· λόγος ἄρα τοῦ ΔΖ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΕ, ΕΖ δοθείς. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΑΓ πρὸς ΓΒ, οὕτως τὸ ΔΕ πρὸς ΕΖ, συνθέντι ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ, οὕτως τὸ ΔΖ πρὸς ΖΕ· καὶ ἀναστρέψαντι ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΑΓ, οὕτως τὸ ΔΖ πρὸς ΔΕ. καὶ ἐπεὶ ὡς τὸ ΔΖ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΕ, ΕΖ, οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΓ, ΓΒ, λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΒ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΓ, ΓΒ δοθείς.
7.1
Ἐὰν δεδομένον μέγεθος εἰς δεδομένον λόγον διαι- ρεθῇ, ἑκάτερον τῶν τμημάτων δεδομένον ἐστίν.
7.2
δεδομένον γὰρ μέγεθος τὸ ΑΒ εἰς δεδομένον λόγον διῃρήσθω τὸν τοῦ ΑΓ πρὸς ΓΒ· λέγω, ὅτι ἑκάτερον τῶν ΑΓ, ΓΒ δοθέν ἐστιν.
7.3
ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΓ πρὸς ΓΒ δοθείς, λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΒ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΓ, ΓΕ δοθείς. δοθὲν δὲ τὸ ΑΒ· δοθὲν ἄρα καὶ ἑκάτερον τῶν ΑΓ, ΓΒ.
8.1
Τὰ πρὸς τὸ αὐΤὸ λόγον ἔχοντα δεδομένον καὶ πρὸς ἄλληλα λόγον ἕξει δεδομένον.
8.2
ἐχέτω γὰρ ἑκάτερον τῶν Α, Γ πρὸς τὸ Β λόγον δεδομένον· λέγω, ὅτι καὶ τὸ Α πρὸς τὸ Γ λόγον ἕξει δεδομένον.
8.3
ἔστω γὰρ δεδομένον μέγεθος τὸ Δ. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τοῦ Α πρὸς τὸ Β δοθείς, ὁ αὐτὸς αὐτῷ πεποιήσθω ὁ τοῦ Δ πρὸς τὸ Ε. δοθὲν δὲ τὸ Δ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ε. πάλιν, ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τοῦ Β πρὸς τὸ Γ δοθείς, ὁ αὐτὸς αὐτῷ πεποιήσθω ὁ τοῦ Ε πρὸς τὸ Ζ. δοθὲν δὲ τὸ Ε· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ζ. ἔστι δὲ καὶ τὸ Δ δοθέν· λόγος ἄρα τοῦ Δ πρὸς τὸ Ζ ἐστι δοθείς. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε, ὡς δὲ τὸ Β πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, διΐσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ζ. λόγος δὲ τοῦ Δ πρὸς τὸ Ζ δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τοῦ Α πρὸς τὸ Γ δοθείς.
9.1
Ἐὰν δύο ἢ πλείονα μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ δεδομένον, ἔχῃ δὲ τὰ αὐτὰ μεγέθη πρὸς ἄλλα τινὰ μεγέθη λόγους δεδομένους, εἰ καὶ μὴ τοὺς αὐτούς, κᾀκεῖνα τὰ μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγους ἕξει δεδομένους. δύο γὰρ ἢ πλείονα μεγέθη τὰ Α, Β, Γ πρὸς ἄλληλα λόγον ἐχέτω δεδομένον, ἐχέτω δὲ τὰ αὐτὰ μεγέθη τὰ Α, Β, Γ πρὸς ἄλλα τινὰ μεγέθη τὰ Δ, Ε, Ζ λόγους δεδομένους, μὴ τοὺς αὐτοὺς δέ· λέγω, ὅτι καὶ τὰ Δ, Ε, Ζ, μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἕξει δεδομένον.
9.2
ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶ τοῦ Α πρὸς τὸ Β δοθείς, τοῦ δὲ Α πρὸς τὸ Δ λόγος ἐστὶ δοθείς, καὶ τοῦ Δ ἄρα πρὸς τὸ Β λόγος ἐστὶ δοθείς. ἀλλὰ τοῦ Β πρὸς τὸ Ε λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ Δ ἄρα πρὸς τὸ Ε λόγος ἐστὶ δοθείς. πάλιν, ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τοῦ Β πρὸς τὸ Γ δοθείς, τοῦ δὲ Β πρὸς τὸ Ε λόγος ἐστὶ δοθείς, καὶ τοῦ Ε ἄρα πρὸς τὸ Γ λόγος ἐστὶ δοθείς. τοῦ δὲ Γ πρὸς τὸ Ζ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ Ε ἄρα πρὸς τὸ Ζ λόγος ἐστὶ δοθείς· τὰ Δ, Ε, Ζ ἄρα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει δεδομένον.
10.1
Ἐὰν μέγεθος μεγέθους δοθέντι μεῖζον ᾖ ἢ ἐν λόγῳ, καὶ τὸ συναμφότερον τοῦ αὐτοῦ δοθέντι μεῖζον ἔσται, ἢ ἐν λόγῳ· καὶ ἐὰν τὸ συναμφότερον τοῦ αὐτοῦ δο- θέντι μεῖζον ᾖ ἢ ἐν λόγῳ, καὶ τὸ λοιπὸν τοῦ αὐτοῦ ἤτοι δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ, ἢ τὸ λοιπὸν μετὰ τοῦ ἑξῆς, πρὸς ὃ τὸ ἕτερον λόγον ἔχει δεδομένον, δοθέν ἐστιν.
10.2
μέγεθος γὰρ τὸ ΑΒ μεγέθους τοῦ ΒΓ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ· λέγω, ὅτι καὶ τὸ συναμφότερον τὸ ΑΓ τοῦ αὐτοῦ τοῦ ΓΒ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
10.3
ἐπεὶ γὰρ τὸ ΑΒ τοῦ ΒΓ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ, ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν μέγεθος τὸ ΑΔ· λοιποῦ ἄρα τοῦ ΔΒ πρὸς τὸ ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ συν- θέντι τοῦ ΔΓ πρὸς τὸ ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι δοθὲν τὸ ΑΔ· τὸ ΓΑ ἄρα τοῦ ΓΒ δοθέντι μεῖ- ζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
10.4
πάλιν δὴ τὸ ΑΓ τοῦ ΓΒ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ· λέγω, ὅτι τὸ λοιπὸν τὸ ΑΒ τοῦ αὐτοῦ τοῦ ΒΓ ἤτοι δοθέντι μεῖζον ἔσται ἢ ἐν λόγῳ, ἢ τὸ ΑΒ μετὰ τοῦ ἑξῆς, πρὸς ὅ τὸν ΒΓ λόγον ἔχει δοθέντα, δοθέν ἐστιν.
10.5
ἐπεὶ γὰρ τὸ ΑΓ τοῦ ΓΒ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ, ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν μέγεθος. τὸ δὴ δοθὲν ἤτοι ἔλασσόν ἐστι τοῦ ΑΒ ἢ μεῖζον. ἔστω πρότερον ἔλασσον, καὶ ἔστω τὸ ΑΔ· λοιποῦ ἄρα τοῦ ΔΓ πρὸς ΓΒ λόγος ἐστὶ δοθείς· διελόντι ἄρα τοῦ ΔΒ πρὸς ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι δοθὲν τὸ ΑΔ· τὸ ΑΒ ἄρα τοῦ ΒΓ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
10.6
ἀλλὰ δὴ τὸ δοθὲν μεῖζον ἔστω τοῦ ΑΒ, καὶ κείσθω αὐτῷ ἴσον τὸ ΑΕ· λόγος ἄρα λοιποῦ τοῦ ΕΓ πρὸς. τὸ ΓΒ ἐστι δοθείς· ὥστε καὶ ἀνάπαλιν τοῦ ΒΓ πρὸς τὸ ΕΓ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ ἀναστρέψαντι ὁ τοῦ ΒΓ πρὸς ΒΕ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι τὸ ΕΒ μετὰ τοῦ ΒΑ δοθέν· ὅλον γὰρ τὸ ΑΕ δοθέν ἐστιν· τὸ ΒΑ ἄρα μετὰ τοῦ ἑξῆς, πρὸς ὃ τὸ ΒΓ λόγον ἔχει δοθέντα, δοθέν ἐστιν.
11.1
Ἐὰν μέγεθος μεγέθους δοθέντι μεῖζον ᾖ ἢ ἐν λόγῳ, τὸ αὐτὸ καὶ συναμφοτέρου δοθέντι μεῖζον ἔσται ἢ ἐν λόγῳ, καὶ ἐὰν τὸ αὐτὸ συναμφοτέρου δοθέντι μεῖζον ᾖ ἢ ἐν λόγῳ, τὸ αὐτὸ καὶ τοῦ λοιποῦ δοθέντι μεῖζον ἔσται ἢ ἐν λόγῳ.
11.2
μέγεθος γὰρ τὸ ΑΒ τοῦ ΒΓ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ· λέγω, ὅτι καὶ τοῦ ΑΓ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
11.3
ἐπεὶ γὰρ τὸ ΑΒ τοῦ ΒΓ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ, ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν μέγεθος τὸ ΑΔ· λοιποῦ ἄρα τοῦ ΔΒ πρὸς τὸ ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς. ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι λόγος ἐστὶ τοῦ ΓΔ πρὸς τὸ ΔΒ δοθείς· ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τοῦ ΑΔ πρὸς τὸ ΔΕ· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΔ πρὸς τὸ ΔΕ δοθείς· δοθὲν δὲ τὸ ΑΔ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΔΕ· ὥστε καὶ λοιπὸν τὸ ΕΑ δοθέν ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ ὅλου τοῦ ΑΓ πρὸς ὄλον τὸ ΕΒ λόγος δοθείς· ὥστε καὶ τοῦ ΕΒ πρὸς ΑΓ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι δοθὲν τὸ ΑΕ· τὸ ΒΑ ἄρα τοῦ ΑΓ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
11.4
ἀλλὰ δὴ τὸ ΒΑ συναμφοτέρου τοῦ ΑΓ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ· λέγω, ὅτι τὸ αὐτὸ τὸ ΑΒ καὶ τοῦ λοιποῦ τοῦ ΒΓ δοθέντι μεῖζον ἔσται ἢ ἐν λόγῳ.
11.5
ἐπεὶ γὰρ τὸ ΑΒ τοῦ ΑΓ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ, ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν μεγεθος τὸ ΑΕ· λοιποῦ ἄρα τοῦ ΕΒ πρὸς τὸ ΑΓ λόγος ἐστὶ δοθείς· ὥστε καὶ τοῦ ΑΓ πρὸς τὸ ΕΒ λόγος ἐστὶ δοθείς· ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τοῦ ΑΔ πρὸς ΕΔ· καὶ τοῦ ΔΑ ἄρα πρὸς ΕΔ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ ἀναστρέψαντι τοῦ ΔΑ πρὸς ΑΕ λόγος δοθείς· καὶ ἀνάπαλιν τοῦ ΕΑ πρὸς τὸ ΑΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ δοθὲν τὸ ΑΕ· δοθὲν ἄρα καὶ ὅλον τὸ ΑΔ. καὶ ἐπεὶ ὅλου τοῦ ΑΓ πρὸς ὅλον τὸ ΕΒ λόγος ἐστὶ δοθείς, ὧν τοῦ ΑΔ πρὸς τὸ ΔΕ λόγος ἐστὶ δοθείς, ἔσται καὶ λοιποῦ τοῦ ΓΔ πρὸς λοιπὸν τὸ ΔΒ λόγος δοθείς· καὶ διελόντι τοῦ ΓΒ πρὸς τὸ ΔΒ λόγος ἐστὶ δοθείς· ὥστε καὶ τοῦ ΔΒ πρὸς τὸ ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι δοθὲν τὸ ΔΑ· τὸ ΑΒ ἄρα τοῦ ΒΓ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
12.1
Ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη καὶ τὸ μὲν πρῶτον μετὰ τοῦ δευτέρου ᾖ δοθέν, ᾖ δὲ καὶ τὸ δεύτερον μετὰ τοῦ τρίτου δοθέν, τὸ πρῶτον τῷ τρίτῳ ἤτοι ἴσον ἐστίν, ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν.
12.2
ἔστω τρία μεγέθη τὰ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, καὶ τὸ μὲν ΑΒ μετὰ τοῦ ΒΓ δοθὲν ἔστω τὸ ΑΓ, τὸ δὲ ΒΓ μετὰ τοῦ ΓΔ δοθὲν ἔστω τὸ ΒΔ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒ τῷ ΓΔ ἤτοι ἴσον ἐστίν, ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖ- ζόν ἐστιν.
12.3
ἐπεὶ γὰρ δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΑΓ, ΒΔ, τὰ δὴ δοθέντα ἤτοι ἴσα ἐστὶν ἢ ἄνισα.
12.4
ἔστω πρότερον ἴσα· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ τῷ ΒΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΒΓ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ λοιπῷ τῷ ΓΔ ἴσον ἐστίν.
12.5
μὴ ἔστω δὴ ἴσα, ἀλλʼ ἔστω μεῖζον τὸ ΑΓ τοῦ ΒΔ, καὶ κείσθω τῷ ΒΔ ἴσον τὸ ΓΕ· δοθὲν δὲ τὸ ΒΔ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΓΕ· ἔστι δὲ καὶ ὅλον τὸ ΑΓ δοθέν· καὶ λοιπὸν τὸ ΑΕ δοθέν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΕΓ τῷ ΒΔ, κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΒΓ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΕ λοιπῷ τῷ ΓΔ ἴσον ἐστίν. καί ἐστι δοθὲν τὸ ΑΕ· τὸ ΑΒ ἄρα τοῦ ΓΔ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν.
13.1
Ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη, καὶ τὸ μὲν πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον λόγον ἔχῃ δεδομένον, τὸ δὲ δεύτερον τοῦ τρίτου δοθέντι μεῖζον ᾖ ἢ ἐν λόγῳ, καὶ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου δοθέντι μεῖζον ἔσται ἢ ἐν λόγῳ.
13.2
ἔστω τρία μεγέθη τὰ ΑΒ, ΓΔ, Ε, καὶ τὸ μὲν ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ λόγον ἐχέτω δεδομένον, τὸ δὲ ΓΔ τοῦ Ε δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ· λέγω, ὅτι καὶ τὸ ΑΒ τοῦ Ε δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
13.3
ἐπεὶ γὰρ τὸ ΓΔ τοῦ Ε δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ, ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν μέγεθος τὸ ΓΖ· λοιποῦ. ἄρα τοῦ ΔΖ πρὸς τὸ Ε λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ δοθεὶς τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΖ. λόγος ἄρα καὶ τοῦ AH πρὸς τὸ ΓΖ δοθείς. δοθὲν δὲ τὸ ΓΖ δοῦὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΗ· καὶ λοιποῦ τοῦ ΗΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΔΖ λόγος ἐστὶ δοθείς. τοῦ δὲ ΔΖ πρὸς τὸ Ε λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ ΗΒ ἄρα πρὸς τὸ Ε λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστὶ δοθὲν τὸ ΑΗ· τὸ ΑΒ ἄρα τοῦ Ε δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
14.1
Ἐὰν δύο μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ προστεθῇ ἑκατέρῳ αὐτῶν δεδομένον μέγεθος, τὰ ὅλα πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἕξει δεδομένον, ἢ τὸ ἕτε- ρον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
14.2
δύο γὰρ μεγέθη τὰ ΑΒ, ΓΔ πρὸς ἄλληλα λόγον ἐχέτω δεδομένον, καὶ προσκείσθω ἑκατέρῳ αὐτῶν δεδο- μένον μέγεθος, τό τε ΑΕ καὶ τὸ ΓΖ· λέγω, ὅτι τὰ ὅλα τὰ ΕΒ, ΖΔ πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἔχει· δεδο- μένον, ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
14.3
ἐπεὶ γὰρ δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΕΑ, ΖΓ, λόγος ἄρα τοῦ ΕΑ πρὸς τὸ ΖΓ δοθείς. καὶ εἰ μὲν ὁ αὐτὸς τῷ τοῦ ΑΒ πρὸς ΓΔ, ἔσται καὶ ὄλου τοῦ ΕΒ πρὸς ὅλον τὸ ΖΔ λόγος δοθείς.
14.4
μὴ ἔστω δὴ ὁ αὐτὸς καὶ πεποιήσθω ὡς τὸ ΑΒ πρὸς ΓΔ, οὕτως τὸ ΗΑ πρὸς ΓΖ· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΗΑ πρὸς τὸ ΖΓ δοθείς. δοθὲν δὲ τὸ ΖΓ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΗΑ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΕΑ δοθέν· καὶ λοι- πὸν ἄρα τὸ ΕΗ δοθέν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ ΗΑ πρὸς τὸ ΖΓ, λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΗΒ πρὸς ΖΔ δοθείς. καί ἐστι δοθὲν τὸ ΕΗ· τὸ ΕΒ ἄρα τοῦ ΖΔ δοθέντι μεῖζόν ἐστι ἢ ἐν λόγῳ.
15.1
Ἐὰν δύο μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ δεδομένον καὶ ἀφαιρεθῇ ἀπὸ ἑκατέρου αὐτῶν δεδομένον μέγεθος, τὰ λοιπὰ πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἕξει δεδομένον, ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
15.2
δύο γὰρ μεγέθη τὰ ΑΒ, ΓΔ πρὸς ἄλληλα λόγον ἐχέτω δεδομένον, καὶ ἀφῃρήσθω ἀφʼ ἑκατέρου αὐτῶν δεδομένον μέγεθος, ἀπὸ μὲν τοῦ ΑΒ τὸ ΕΑ, ἀπὸ δὲ τοῦ ΓΔ τὸ ΓΖ· λέγω, ὅτι τὰ λοιπὰ τὰ ΕΒ, ΖΔ πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἕξει δεδομένον, ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
15.3
ἐπεὶ γὰρ ἑκάτερον τῶν ΑΕ, ΓΖ δοθέν ἐστι, λόγος ἄρα τοῦ ΑΕ πρὸς ΓΖ δοθείς. καὶ εἰ μὲν ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ΑΒ πρὸς ΓΔ, ἔσται καὶ λοιποῦ τοῦ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ λόγος δοθείς.
15.4
μὴ ἔστω δὴ ὁ αὐτός, καὶ πεποιήσθω ὡς τὸ ΑΒ πρὸς ΓΔ, οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΓΖ. λόγος δὲ τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΗ πρὸς τὸ ΓΖ δοθείς· δοθὲν δὲ τὸ ΓΖ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΗ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΕ δοθέν· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΗ δοθέν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΓΖ, λοιποῦ ἄρα τοῦ ΗΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι δοθὲν τὸ ΕΗ· τὸ ΕΒ ἄρα τοῦ ΖΔ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
16.1
Ἐὰν δύο μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ ἀπὸ μὲν τοῦ ἑνὸς αὐτῶν δεδομένον μέγεθος ἀφαι- ρεθῇ, τῷ δὲ ἑτέρῳ αὐτῶν δεδομένον μέγεθος προστεθῇ, τὸ ὅλον τοῦ λοιποῦ δοθέντι μεῖζον ἔσται ἢ ἐν λόγῳ.
16.2
δύο γὰρ μεγέθη τὰ ΑΒ, ΓΔ λόγον ἐχέτω δεδο- μένον, καὶ ἀπὸ μὲν τοῦ ΓΔ δεδομένον μέγεθος ἀφῃ- ρήσθω τὸ ΓΕ, τῷ δὲ ΑΒ δεδομένον μέγεθος προσ- κείσθω τὸ ΖΑ. λέγω, ὅτι ὅλον τὸ ΖΒ τοῦ λοιποῦ τοῦ ΕΔ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
16.3
ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΒ πρὸς ΓΔ δοθείς, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω τοῦ ΑΗ πρὸς τὸ ΓΕ· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΗ πρὸς τὸ ΓΕ δοθείς· δοθὲν δὲ τὸ ΓΕ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΗ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΖ δοθέν· ὅλον ἄρα τὸ ΖΗ δοθέν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς ΓΕ, καὶ λοιποῦ τοῦ ΗΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΕΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι δοθὲν τὸ ΗΖ· τὸ ΖΒ ἄρα τοῦ ΕΔ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
17.1
Ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη, καὶ τὸ πρῶτον τοῦ δευτέρου δοθέντι μεῖζον ᾖ ἢ ἐν λόγῳ, ᾖ δὲ καὶ τὸ τρίτον τοῦ αὐτοῦ δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ, τὸ πρῶτον πρὸς τὸ τρίτον ἤτοι λόγον ἕξει δεδομένον, ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζον ἔσται ἢ ἐν λόγῳ.
17.2
ἔστω τρία μεγέθη τὰ ΑΒ, Γ, ΔΕ, καὶ ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΔΕ τοῦ Γ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ· λέγω, ὅτι τὰ ΑΒ, ΔΕ ἤτοι πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει δεδομένον ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
17.3
ἐπεὶ γὰρ τὸ ΔΕ τοῦ Γ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ, ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν μέγεθος τὸ ΔΗ· λοιποῦ ἄρα τοῦ ΗΕ πρὸς τὸ Γ λόγος ἐστὶ δοθείς. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τοῦ ΖΒ πρὸς τὸ Γ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ ΖΒ ἄρα πρὸς τὸ ΗΕ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ πρόσκειται αὐτοῖς δεδομένα μεγέθη τὰ ΑΖ, ΔΗ· τὰ ὅλα ἄρα τὰ ΑΒ, ΔΕ πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἔχει δεδομένον, ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
18.1
Ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη, ἓν δὲ αὐτῶν ἑκατέρου τῶν λοιπῶν δοθέντι μεῖζον ᾖ ἢ ἐν λόγῳ, τὰ λοιπὰ δύο πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἕξει δεδομένον, ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
18.2
ἔστω τρία μεγέθη τὰ ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ἓν δὲ αὐτῶν τὸ ΓΔ ἑκατέρου τῶν λοιπῶν τῶν ΑΒ, ΕΖ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ. λέγω, ὅτι τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΕΖ ἤτοι λόγον ἔχει δεδομένον, ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
18.3
ἐπεὶ γὰρ τὸ ΓΔ τοῦ ΑΒ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ, ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν μέγεθος τὸ ΓΗ. λοιποῦ ἄρα τοῦ ΗΔ πρὸς τὸ ΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς. ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τοῦ ΓΗ πρὸς τὸ ΑΘ. λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΓΗ πρὸς τὸ ΑΘ δοθείς. δοθὲν δὲ τὸ ΓΗ. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΘ. καὶ ὅλου τοῦ ΓΔ πρὸς ὅλον τὸ ΘΒ λόγος ἐστὶ δοθείς. πάλιν, ἐπεὶ τὸ ΓΔ τοῦ ΕΖ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ, ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν μέγεθος τὸ ΓΚ. λοιποῦ τοῦ ΚΔ πρὸς ΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς. ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τοῦ ΓΚ πρὸς ΛΕ. λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΓΚ πρὸς ΛΕ δοθείς. δοθὲν δὲ τὸ ΓΚ. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΛΕ. καὶ ὅλου τοῦ ΓΔ πρὸς ὅλον τὸ ΛΖ λόγος ἐστὶ δοθείς. τοῦ δὲ ΓΔ πρὸς ΘΒ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ τοῦ ΘΒ ἄρα πρὸς ΛΖ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ ἀφῄρηται ἀπʼ αὐτῶν δε- δομένα μεγέθη τὰ ΘΑ, ΛΕ. τὰ ΑΒ, ΕΖ ἄρα ἤτοι πρὸς ἄλληλα λόγον ἕξει δεδομένον, ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
19.1
Ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη, καὶ τὸ μὲν πρῶτον τοῦ δευ- τέρου δοθέντι μεῖζον ᾖ ἢ ἐν λόγῳ, ᾖ δὲ καὶ τὸ δεύ- τερον τοῦ τρίτου δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ, καὶ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου δοθέντι μεῖζον ἔσται ἢ ἐν λόγῳ.
19.2
ἔστω τρία μεγέθη τὰ ΑΒ, ΓΔ, Ε, καὶ τὸ μὲν ΑΒ τοῦ ΓΔ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ, τὸ δὲ ΓΔ τοῦ Ε δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ. λέγω, ὅτι καὶ τὸ ΑΒ τοῦ Ε δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
19.3
ἐπεὶ γὰρ τὸ ΓΔ τοῦ Ε δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ, ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν μέγεθος τὸ ΓΖ· λοιποῦ ἄρα τὸῦ ΖΔ πρὸς τὸ Ε λόγος ἐστὶ δοθείς. πάλιν; ἐπεὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ, ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν μέγεθος τὸ ΑΗ· λοιποῦ ἄρα τοῦ ΗΒ πρὸς τὸ ΓΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω τοῦ ΗΘ πρὸς τὸ ΓΖ· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΗΘ πρὸς τὸ ΓΖ δοθείς. δοθὲν δὲ τὸ ΓΖ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΗΘ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΗΑ δοθέν· καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΘΑ δοθέν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ὡς τὸ ΗΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ ΗΘ πρὸς τὸ ΓΖ, καὶ λοιποῦ τοῦ ΘΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. τοῦ δὲ ΖΔ πρὸς τὸ Ε λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ ΘΒ ἄρα πρὸς τὸ Ε λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ δοθὲν τὸ ΘΑ· τὸ ΒΑ ἄρα τοῦ Ε δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
20.1
Ἐὰν ᾖ δύο μεγέθη δεδομένα, καὶ ἀφαιρεθῇ ἀπʼ αὐτῶν μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχοντα δεδομένον, τὰ λοιπὰ πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἕξει δεδομένον, ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
20.2
ἔστω δύο μεγέθη δεδομένα τὰ ΑΒ, ΓΔ, καὶ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ ἀφῃρήσθω μεγέθη τὰ ΑΕ, ΓΖ λόγον ἔχοντα πρὸς ἄλληλα δεδομένον· λέγω, ὅτι τὰ ΕΒ, ΖΔ πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἔχει δεδομένον, ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
20.3
ἐπεὶ γὰρ δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΓΔ, λόγος ἄρα τοῦ ΑΒ πρὸς ΓΔ δοθείς.
20.4
καὶ εἰ μὲν ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ΑΕ πρὸς ΓΖ, ἔσται καὶ λοιποῦ τοῦ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ λόγος δοθείς.
20.5
μὴ ἔστω δὴ ὁ αὐτός, καὶ πεποιήσθω ὡς τὸ ΕΑ πρὸς ΓΖ, οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς ΓΔ. λόγος δὲ τοῦ ΑΕ πρὸς ΓΖ δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΗ πρὸς ΓΔ δοθείς. δοθὲν δὲ τὸ ΓΔ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΗ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΒ δοθέν· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΒ. δοθέν ἐστιν. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΑΕ πρὸς ΓΖ, οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΓΔ, καὶ λοιποῦ τοῦ ΗΕ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ λόγος ἐστὶ δοθείς· δοθὲν δὲ τὸ ΗΒ· τὸ ΕΒ ἄρα τοῦ ΖΔ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
21.1
Ἐὰν ᾖ δύο μεγέθη δεδομένα, καὶ προστεθῇ αὐτοῖς μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχοντα δεδομένον, τὰ ὅλα πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἕξει δεδομένον ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
21.2
ἔστω δύο μεγέθη δεδομένα τὰ ΑΒ, ΓΔ, καὶ προσ- κείσθω αὐτοῖς μεγέθη τὰ ΑΕ, ΓΖ λόγον ἔχοντα πρὸς ἄλληλα δεδομένον· λέγω, ὅτι τὰ ὅλα τὰ ΕΒ, ΖΔ πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἕξει δεδομένον, ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
21.3
ἐπεὶ γὰρ δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΓΔ, λόγος ἄρα τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ δοθείς.
21.4
καὶ εἰ μὲν ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ΕΑ πρὸς τὸ ΓΖ, ἔσται καὶ ὅλου τοῦ ΕΒ πρὸς ὅλον τὸ ΖΔ λόγος δοθείς.
21.5
εἰ δὲ οὔ, πεποιήσθω ὡς τὸ ΑΕ πρὸς ΓΖ, οὕτως τὸ ΗΑ πρὸς τὸ ΓΔ· λόγος ἄρα τοῦ ΗΑ πρὸς τὸ ΓΔ δοθείς. δοθὲν δὲ τὸ ΓΔ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΗΑ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΒ δοθέν· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΒ δοθέν ἐστιν. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΕΑ πρὸς ΖΓ, οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΓΔ, καὶ ὅλου τοῦ ΕΗ πρὸς ὅλον τὸ ΖΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ δοθὲν τὸ ΗΒ· τὸ ΕΒ ἄρα τοῦ ΖΔ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
22.1
Ἐὰν δύο μεγέθη πρός τι μέγεθος λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ τὸ συναμφότερον πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἕξει δεδομένον,
22.2
δύο γὰρ μεγέθη τὰ ΑΒ, ΒΓ πρός τι μέγεθος τὸ Δ λόγον ἐχέτω δεδομένον· λέγω, ὅτι καὶ τὸ συναμφότερον τὸ ΑΓ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ Δ λόγον ἔχει δεδομένον.
22.3
ἐπεὶ γὰρ ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΒΓ πρὸς τὸ Δ λόγον ἔχει δεδομένον, λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ δοθείς· καὶ συνθέντι τοῦ ΑΓ πρὸς τὸ ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς. τοῦ δὲ ΒΓ πρὸς Δ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ ποῦ ΑΓ ἄρα πρὸς τὸ Δ λόγος ἐστὶ δοθείς.
23.1
Ἐὰν ὅλον πρὸς ὅλον λόγον ἔχῃ δεδομένον, ἔχῃ δὲ καὶ τὰ μέρη πρὸς τὰ μέρη λόγους δεδομένους, μὴ τοὺς αὐτοὺς δέ, καὶ πάντα πρὸς πάντα λόγους ἕξει δεδο- μένους.
23.2
ἐχέτω γὰρ ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ λόγον δεδομένον, ἐχέτω δὲ καὶ τὰ ΑΕ, ΕΒ μέρη πρὸς τὰ ΓΖ, ΖΔ μέρη λόγους δεδομένους, μὴ τοὺς αὐτοὺς δέ· λέγω, ὅτι καὶ πάντα πρὸς πάντα λόγους ἕξει δεδο- μένους.
23.3
ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΕ πρὸς ΓΖ δοθείς, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τοῦ ΑΒ πρὸς ΓH· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΒ πρὸς ΓΗ δοθείς. ἔσται καὶ λοιποῦ τοῦ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΗ λόγος δοθείς. τοῦ δὲ ΕΒ πρὸς τὸ ΖΔ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ ΖΔ ἄρα πρὸς ΖΗ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ ἀναστρέψαντι τοῦ ΖΔ πρὸς ΔΗ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΒ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΓ, ΓΗ, καὶ τοῦ ΔΓ ἄρα πρὸς τὸ ΓH λόγος ἐστὶ δοθείς· ἀναστρέψαντι καὶ τοῦ ΓΔ πρὸς ΔΗ λόγος ἐστὶ δοθείς. ἀλλὰ τοῦ ΗΔ πρὸς ΔΖ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ ΓΔ ἄρα πρὸς ΔΖ λόγος ἐστὶ δοθείς· ὥστε καὶ τοῦ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. ἀλλὰ τοῦ μὲν ΓΖ πρὸς ΑΕ λόγος ἐστὶ δοθείς, τοῦ δὲ ΖΔ πρὸς ΒΕ λόγος ἐστὶ δοθείς· ὥστε πάντων πρὸς πάντα λόγος ἐστὶ δοθείς.
24.1
Ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἡ δὲ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ πρὸς τὴν δευ- τέραν λόγον ἕξει δεδομένον.
24.2
ἔστωσαν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ Α, Β, Γ, ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ, ἡ δὲ Α πρὸς τὴν Γ λόγον ἐχέτω δεδομένον· λέγω, ὅτι καὶ πρὸς τὴν Β λόγον ἕξει δεδομένον.
24.3
ἐκκείσθω γὰρ δοθεῖσα ἡ Δ. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς Α πρὸς τὴν Γ δοθείς, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς Δ πρὸς τὴν Ζ· λόγος ἄρα καὶ τῆς Δ πρὸς τὴν Ζ δοθείς· δοθεῖσα δὲ ἡ Δ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ Ζ. εἰλήφθω τῶν Δ, Ζ μέση ἀνάλογον ἡ Ε· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Δ, Ζ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Ε. δοθὲν δὲ τὸ ῦπὸ τῶν Δ, Ζ· δοθεῖσα γὰρ ἐκατέρα αὐτῶν· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ Ε· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ Ε. ἔστι δὲ καὶ ἡ Δ δοθεῖσα· λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς Δ πρὸς τὴν E δοθείς. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ζ, ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ Α πρὸς τὴν Γ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ, ὡς δὲ ἡ Δ πρὸς τὴν Ζ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Δ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ζ, ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Δ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ζ. ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Β· αἱ γὰρ Α, Β, Γ ἀνάλογσν εἰσιν· τῷ δὲ ὑπὸ τῶν Δ, Ζ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Ε· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Δ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ε· καὶ ὡς ἄρα ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ε. λόγος δὲ τῆς Δ πρὸς τὴν Ε δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τῆς Α πρὸς τὴν Β δοθείς.
25.1
Ἐὰν δύο γραμμαὶ τῇ θέσει δεδομέναι τέμνωσιν ἀλλήλας, δέδοται τὸ σημεῖον, καθʼ ὃ τέμνουσιν ἀλλή- λας, τῇ θέσει.
25.2
δύο γὰρ γραμμαὶ τῇ θέσει δεδομέναι αἱ ΑΒ, ΓΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε σημεῖον. λέγω, ὅτι δοθέν ἐστι τὸ Ε σημεῖον.
25.3
εἰ γὰρ μή, μεταπεσεῖται τὸ Ε σημεῖον. μεταπεσεῖται ἄρα καὶ μιᾶς τῶν ΑΒ, ΓΔ ἡ θέσις. οὐ μεταπίπτει δέ. δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Ε σημεῖον.

First Thousand Years of Greek. CTS URN tlg1799.tlg007.1st1K-grc1. Via the Perseus Digital Library / Open Greek and Latin TEI corpora. Licence: Available under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License. Source.