← Library

Data

First Thousand Years of Greek · First Thousand Years of Greek · 331 sections

1. 26.1

   Ἐὰν εὐθείας γραμμῆς τὰ πέρατα ᾖ δεδομένα τῇ θέσει, δέδοται ἡ εὐθεῖα τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει.

2. 26.2

   εὐθείας γὰρ γραμμῆς τὰ πέρατα τὰ Α, Β δεδομένα ἔστω τῇ θέσει. λέγω, ὅτι δέδοται ἡ ΑΒ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει.

3. 26.3

   εἰ γὰρ μένοντος τοῦ Α μεταπεσεῖται τῆς ΑΒ εὐθείας ἤτοι ἡ θέσις ἢ τὸ μέγεθος, μεταπεσεῖται καὶ τὸ Β σημεῖον. οὐ μεταπίπτει δέ. δέδοται ἄρα ἡ ΑΒ εὐθεῖα τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει.

4. 27.1

   Ἐὰν εὐθείας γραμμῆς τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένης τὸ ἕν πέρας δοθὲν ᾖ, καὶ τὸ ἕτερον δο- θήσεται.

5. 27.2

   εὐθείας γὰρ γραμμῆς τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένης τῆς ΑΒ τὸ ἕν πέρας τὸ Α δοθὲν ἔστω. λέγω, ὅτι καὶ τὸ Β δοθέν ἐστιν.

6. 27.3

   εἰ γὰρ μένοντος τοῦ Α σημείου μεταπεσεῖται τὸ Β σημεῖον, μεταπεσεῖται ἄρα καὶ τῆς ΑΒ εὐθείας ἤτοι ἡ θέσις ἢ τὸ μέγεθος. οὐ μεταπίπτει δέ. δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Β σημεῖον.

7. 28.1

   Ἐὰν διὰ δεδομένου σημείου παρὰ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ, δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσςι.

8. 28.2

   διὰ γὰρ δεδομένου σημείου τοῦ Α παρὰ θέσει δεδο- μένην εὐθείαν τὴν ΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΔΑΕ. λέγω, ὅτι δέδοται ἡ ΔΑΕ τῇ θέσει.

9. 28.3

   εἰ γὰρ μή, μένοντος τοῦ Α σημείου μεταπεσεῖται τῆς ΔΑΕ ἡ θέσις. διαμενούσης τῆς ΒΓ παραλλήλου μεταπιπτέτω καὶ ἔστω ἡ ΖΑΗ. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΒ τῃ ΖΑΗ. ἀλλά ἡ ΒΓ τῇ ΔΑΕ ἐστι παράλληλος. καὶ ἡ ΔΑΕ ἄρα τῇ ΗΑΖ παράλληλός ἐστιν. ἀλλὰ καὶ συμπίπτει· ὅπερ ἐστὶν ἄτο- πον. οὐκ ἄρα μεταπεσεῖται τῆς ΔΑΕ ἡ θέσις. θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΑΕ.

10. 29.1

    Ἐὰν πρὸς θέσει δεδομένῃ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ δεδομένῳ εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ δεδομένην ποι- οῦσα γωνίαν, δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσει.

11. 29.2

    πρὸς θέσει γὰρ δεδομένῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ δεδομένῳ τῷ Γ εὐθεῖα ἤχθω ἡ ΓΔ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΓΔ. λέγω, ὅτι θέσει ἐστὶν ἡ ΓΔ.

12. 29.3

    εἰ γὰρ μή, μένοντος τοῦ Γ σημείου μεταπεσεῖται τῆς ΓΔ ἡ θέσις διατηροῦσα τῆς ὑπὸ τῶν ΒΓΔ γω- νίας τὸ μέγεθος. μεταπιπτέτω καὶ ἔστω ἡ ΓΕ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΔΓΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΓΒ, ἡ μείζων τῇ ἐλάσσονι· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα μετα- πεσεῖται τῆς ΔΓ ἡ θέσις. θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ.

13. 30.1

    Ἐὰν ἀπὸ δεδομένου σημείου ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ δεδομένην ποιοῦσα γω- νίαν, δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσει.

14. 30.2

    ἀπὸ γὰρ δεδομένου σημείου τοῦ Α ἐπὶ θέσει δεδο- μένην εὐθεῖαν τὴν ΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΑΔ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΑΔΓ. λέγω, ὅτι θέσει ἐστὶν ἡ ΑΔ.

15. 30.3

    εἰ γὰρ μή, μένοντος τοῦ Α σημείου μεταπεσεῖται τῆς ΑΔ ἡ θέσις διατηροῦσα τῆς ὑπὸ ΑΔΓ γωνίας τὸ μέγεθος. μεταπιπτέτω καὶ ἔστω ἡ ΑΖ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΑΖΓ. ἡ μείζων τῇ ἐλάττονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα μεταπεσεῖται τῆς ΑΔ ἡ θέσις. θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΔ.

16. 31.1

    Ἐἀν ἀπὸ δεδομένου σημείου ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν εὐθεῖα γραμμὴ προσβληθῇ δεδομένη τῷ με- γέθει, δέδοται καὶ τῇ θέσει.

17. 31.2

    ἀπὸ γὰρ δεδομένου σημείου τοῦ Α ἐπὶ θέσει δεδο- μένην εὐθεῖαν τὴν ΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω δεδο- μένη τῷ μεγέθει. λέγω, ὅτι καὶ τῇ θέσει δέδοται.

18. 31.3

    κέντρῳ γὰρ τῷ Α, διαστήματι δὲ τῷ ΑΔ κύκλος γεγράφθω ὁ ΕΔΖ. θέσει ἄρα ἐστὶν ὁ ΕΔΖ κύκλος· δέδοται γὰρ αὐτοῦ τὸ Α κέντρον τῇ θέσει καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἡ ΑΔ τῷ μεγέθει. θέσει δὲ καὶ ἡ ΒΓ εὐθεῖα. ἐὰν δὲ δύο γραμμαὶ τῇ θέσει δεδομέναι τέμνω- σιν ἀλλήλας, δέδοται τὸ σημεῖον, καθʼ ὃ τέμνουσιν ἀλλήλας· δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Δ. ἔστι δὲ καὶ τὸ Α δοθέν. θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΔ.

19. 32.1

    Ἐὰν εἰς παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ δεδομένας ποιοῦσα γωνίας, δέ- δοται ἡ ἀχθεῖσα τῷ μεγέθει.

20. 32.2

    εἰς γὰρ παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΕΖ δεδομένας ποιοῦσα γωνίας τὰς ὑπὸ ΒΕΖ, ΕΖΔ. λέγω, ὅτι δέ. δοται ἡ ΕΖ τῷ μεγέθει.

21. 32.3

    εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΓΔ δοθὲν σημεῖον τὸ Η, καὶ διὰ τοῦ Η τῇ ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΗΘ. ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΗΘ τῇ ΕΖ καὶ εἰς αὐτὰς εὐθεῖα ἐμπέπτωκεν ἡ ΓΔ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ EΖΔ τῇ ὑπὸ ΘHΔ. δοθεῖσα δὲ ἡ ὑπὸ τῶν ΕΖΔ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΘΗΔ. ἐπεὶ οὖν πρός θέσει δεδομένῃ εὐθείᾳ τῇ ΓΔ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ δεδομένῳ τῷ Η εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΗΘ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ ΘΗΖ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ. θέσει δὲ καὶ ἡ ΑΒ. δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Θ σημεῖον. ἔστι δὲ καὶ τὸ Η δοθέν. δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ τῷ μεγέθει· καί ἐστιν ἱση τῇ ΕΖ. δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ Ε τῷ μεγέθει.

22. 33.1

    Ἐὰν εἰς παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ δεδομένη τῷ μεγέθει, δεδομένας ποιήσει γωνίας.

23. 33.2

    εἰς γὰρ παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΔ εὑθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΕΖ, δεδομένη τῷ μεγέθει. λέγω, ὅτι δεδομένας ποιήσει γωνίας τὰς ὑπὸ τῶν ΒΕΖ, ΕΖΔ.

24. 33.3

    εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΑΒ δοθὲν σημεῖον τὸ Η καὶ διὰ τοῦ Η τῇ ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΗΘ. ἱση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΕ τῇ ΗΘ. δοθεῖσα δὲ ἡ ΕΖ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΗΘ. καί ἐστι τὸ Η δοθέν. ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ Η, διαστήματι δὲ τῷ ΗΘ κύκλος γραφόμενος ἔσται τῇ θέσει. γεγράφθω καὶ ἔστω ὁ ΚΘΛ. θέσει ἄρα ἐστὶν ὁ ΚΘΛ. θέσει δὲ καὶ ἡ ΓΔ. δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Θ σημεῖον. ἔστι δὲ καὶ τὸ Η δοθέν· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ. θέσει δὲ καὶ ἡ ΓΔ. δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΗΘΔ γωνία. καί ἐστι τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖΔ ἴση. δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ τῶν EΖΔ. καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΖEΒ δοθεῖσά ἐστιν.

25. 34.1

    Ἐὰν εἰς παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας ἀπὸ δεδομένου σημείου εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ, εἰς δεδο- μένον λόγον τμηθήσεται.

26. 34.2

    εἰς γὰρ παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΔ ἀπὸ δεδομένου σημείου τοῦ Ε εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΕΖH. λέγω, ὅτι λόγος ἐστὶ τῆς ΕΖ πρὸς ΖΗ δοθείς.

27. 34.3

    ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου ἐπὶ τὴν ΓΔ κάθε— τος ἡ ΕΚΘ. ἐπεὶ ἀπὸ δεδομένου σημείου τοῦ E ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν τὴν ΓΔ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΕΘ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΕΘH, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ EΘ· θέσει δὲ καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΓΔ· δοθὲν ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν Κ, Θ. ἔστι δὲ καὶ τὸ E δοθέν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΕΚ, ΚΘ. λόγος ἄρα τῆς ΕΚ πρὸς τὴν ΚΘ δοθείς. καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΘ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖH. λόγος ἄρα καὶ τῆς ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ δοθείς.

28. 35.1

    Ἐὰν ἀπὸ δεδομένου σημείου ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ καὶ τμηθῇ εἰς δεδομένον λόγον, διὰ δὲ τῆς τομῆς παρὰ τὴν θέσει δεδομένην εὐθεῖαν εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ, δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσει.

29. 35.2

    ἀπὸ γὰρ δεδομένου σημείου τοῦ Α ἐπὶ θέσει δεδο- μένην εὐθεῖαν τὴν ΓΒ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΑΔ καὶ τετμήσθω εἰς δεδομένον λόγον τὸν τῆς ΔΕ πρὸς ΕΑ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ε τῃ ΒΓ παράλληλος ἡ ΖΕΗ. λέγω, ὅτι θέσει ἐστὶν ἡ ΖEΗ.

30. 35.3

    ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΘ. ἐπεὶ ἀπὸ δεδομένου σημείου τοῦ Α ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν τὴν ΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΑΘ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΑΘΔ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΘ. θέσει δὲ καὶ ἡ ΒΓ· δοθὲν ἄρα τὸ Θ σημεῖον. ἔστι δὲ καὶ τὸ Α δοθέν. δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΘ. καὶ ἐπεὶ λόγος τῆς ΔΕ πρὸς τὴν ΕΑ δοθείς, ὡς δὲ ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΚΑ, λόγος ἄρα καὶ ὁ τῆς ΘΚ πρὸς τὴν ΚΑ δοθείς. συν- θέντι ἄρα λόγος ἐστὶ τῆς ΘΑ πρὸς ΑΚ δοθείς. δο- θεῖσα δὲ ἡ ΘΑ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΚ. ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει. καί ἐστι τὸ Α δοθέν· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Κ. ἐπεὶ οὖν διὰ δεδομένου σημείου τοῦ Κ παρὰ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν τὴν ΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΖΗ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ.

31. 36.1

    Ἐὰν ἀπὸ δεδομένου σημείου ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ καὶ προστεθῇ τις αὐτῇ εὐθεῖα λόγον ἔχουσα πρὸς αὐτὴν δεδομένον, διὰ δὲ τοῦ πέρατος τῆς προστεθείσης παρὰ τὴν τῇ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ, δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσει.

32. 36.2

    ἀπὸ γὰρ δεδομένου σημείου τοῦ Α ἐπὶ θέσει δεδο- μένην εὐθεῖαν τὴν ΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΑΔ, καὶ προσκείσθω τῇ ΑΔ ἡ ΑΕ λόγον ἔχουσα πρὸς τὴν ΑΔ δεδομένον, διὰ δὲ τοῦ E τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΚ. λέγω, ὅτι θέσει ἐστὶν ἡ ΖΚ.

33. 36.3

    ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΘ καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Η. ἐπεὶ ἀπὸ δεδομένου σημείου τοῦ Α ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν τὴν ΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΑΘ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ ΑΘΓ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΑΗ. θέσει δὲ καὶ ἡ ΒΓ· δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Θ σημεῖον. ἔστι δὲ καὶ τὸ Α δοθέν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΘ. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΔΑ πρὸς τὴν ΑΕ δοθείς, ὡς δὲ ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΕ, οὕτως ἡ ΘΑ πρὸς τὴν ΑΗ, λόγος ἄρα καὶ τῆς ΘΑ πρὸς τὴν ΑΗ δοθείς. δοθεῖσα δὲ ἡ ΘΑ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΗ. ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει. καί ἐστι δοθὲν τὸ Α· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ H. ἐπεὶ οὖν διὰ δεδομένου σημείου τοῦ H παρὰ θέσει δεδομένην εὐ- θεῖαν τὴν ΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΖΗΚ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗΚ.

34. 37.1

    Ἐὰν εἰς παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ καὶ τμηθῇ εἰς δεδομένον λόγον, διὰ δὲ τῆς τομῆς παρὰ τὰς τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ, δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσει.

35. 37.2

    εἰς γὰρ παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΕΖ καὶ τετμήσθω εἰς δεδομένον λόγον τὸν τῆς ΖΗ πρὸς τὴν ΗE, καὶ διήχθω διὰ τοῦ Η ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ, ΓΔ παράλληλος ἡ ΘΚ. λέγω, ὅτι θέσει ἐστὶν ἡ ΘΚ.

36. 37.3

    εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΑΒ δοθὲν σημεῖον τὸ Λ, καὶ κατήχθω ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΓΔ κάθετος ἡ ΛΝ. ἐπεὶ ἀπὸ δεδομένου σημείου τοῦ Λ ἐπὶ θέσει δεδο- μένην εὐθεῖαν τὴν ΓΔ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΛΝ. δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΛΝΔ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΝ. θέσει δὲ καὶ ἡ ΓΔ· δοθὲν ἄρα τὸ Ν σημεῖον. ἔστι δὲ καὶ τὸ Λ δοθέν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΝ. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΖΗ πρὸς τὴν ΗΕ δοθείς, ὡς δὲ ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΕ, οὕτως ἡ ΝΜ πρὸς τὴν ΜΛ, λόγος ἄρα καὶ τῆς ΝΜ πρὸς τὴν ΜΛ δοθείς· ὥστε καὶ τῆς ΝΛ πρὸς τὴν ΜΛ ἐστι δοθεὶς λόγος. δοθεῖσα δὲ ἡ ΝΛ. δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΛΜ. ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει. καί ἐστι δοθὲν τὸ Λ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Μ. ἐπεὶ οὖν διὰ δεδομένου σημείου τοῦ Μ παρὰ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν τὴν ΓΔ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΘΚ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ.

37. 38.1

    Ἐὰν εἰς παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ καὶ προστεθῇ τις αὐτῇ εὐθεῖα λόγον ἔχουσα πρὸς αὐτὴν δεδομένον, διὰ δὲ τοῦ πέρα- τος παρὰ τὰς τῇ θέσει δεδομένας παράλληλος εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ, δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσει.

38. 38.2

    εἰς γὰρ παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΕΖ, καὶ προσ- κείσθω τις αὐτῇ εὐθεῖα ἡ ΕΗ λόγον ἔχουσα πρὸς τὴν ΕΖ δεδομένον, διὰ δὲ τοῦ H ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ, ΓΔ εὐθειῶν παράλληλος εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΘΚ. λέγω, ὅτι θέσει ἐστὶν ἡ ΘΚ.

39. 38.3

    εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΑΒ δοθὲν σημεῖον τὸ Ν, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ν ἐπὶ τὴν ΓΔ κάθετος εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΝΜ καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Λ. ἐπεὶ ἀπὸ δεδο- μένου σημείου τοῦ Ν ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν τὴν ΓΔ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΝΜ δεδομένην ποι- οῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ ΝΜΔ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΝΜ. θέσει δὲ καὶ ἡ ΓΔ. δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Ν σημεῖον. ἔστι δὲ καὶ τὸ Ν δοθέν. δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΜ. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΖΕ πρὸς τὴν ΕΗ δοθείς, ὡς δὲ ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΗΕ, οὕτως ἡ ΝΜ πρὸς τὴν ΝΛ, λόγος ἄρα καὶ τῆς ΜΛ πρὸς τὴν ΝΛ δοθείς. δοθεῖσα δὲ ἡ ΝΜ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΝΛ. ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει. καί ἐστι τὸ Λ δοθέν· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Λ. ἐπεὶ οὖν διὰ δεδομένου σημείου τοῦ Λ παρὰ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν τὴν ΑΒ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΘΚ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ.

40. 39.1

    Ἐὰν τριγώνου ἑκάστη τῶν πλευρῶν δεδομένη ῇ τῷ μεγέθει, δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει.

41. 39.2

    τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἑκάστη τῶν πλευρῶν δεδομένη ἔστω τῷ μεγέθει· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓ τρί- γωνον δέδοται τῷ εἴδει.

42. 39.3

    ἐκκείσθω γὰρ εὐθεῖα τῇ θέσει δεδομένη ἡ ΔΜ, πεπερατωμένη μὲν κατὰ τὸ Δ, ἄπειρος δὲ κατὰ τὸ λοιπόν, καὶ κείσθω τῇ μὲν ΑΒ ἴση ἡ ΔΕ· δοθεῖσα δὲ ἡ ΑΒ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΔΕ· ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει· καί ἐστι δοθὲν τὸ Δ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ε· τῇ δὲ ΒΓ ἴση ἡ EΖ· δοθεῖσα δὲ ἡ ΒΓ· δο- θεῖσα ἄρα καὶ ἡ EΖ· ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει· καί ἐστι δοθὲν τὸ E· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ζ· τῃ δὲ ΑΓ ἴση ἡ ΖΗ. δοθεῖσα δὲ ἡ ΑΓ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΖΗ. ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει. καί ἐστι δοθὲν τὸ Ζ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Η. καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Ε, διαστήματι δὲ τῷ ΕΔ κύκλος γεγράφθω ὁ ΔΚΘ· θέσει ἄρα ἐστὶν ὁ ΔΚΘ. πάλιν κέντρῳ μὲν τῷ Ζ, διαστήματι δὲ τῷ ΖΗ κύκλος γεγράφθω ὁ ΗΚΛ· θέσει ἄρα ἐστὶν ὁ ΗΚΛ· θέσει δὲ καὶ ὁ ΔΘΚ κύκλος· δοθὲν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ Κ σημεῖον. ἔστι δὲ καὶ ἑκά- τερον τῶν Ε, Ζ δοθέν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκάστη τῶν ΚΕ, EΖ, ΖΚ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει· δέδοται ἄρα τὸ ΚΕΖ τρίγωνον τῷ εἴδει. καί ἐστιν ἴσον τε καὶ ὅμοιον τῷ ΑΒΓ· δέδοται ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.

43. 40.1

    Ἐὰν τριγώνου ἑκάστη τῶν γωνιῶν δεδομένη ᾗ τῷ μεγέθει, δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει.

44. 40.2

    τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἑκάστη τῶν γωνιῶν δεδο- μένη ἔστω τῷ μεγέθει· λέγω, ὅτι δέδοται τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.

45. 40.3

    ἐκκείσθω γὰρ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένη εὐθεῖα ἡ ΔΕ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΔΕ καὶ τοῖς πρὸς αὐτῇ σημείοις τοῖς Δ, Ε τῇ μὲν ὑπὸ ΓΒΑ γωνίᾳ ἴση γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ ΕΔΖ, τῇ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ ἱση ἡ ὑπὸ τῶν ΔΕΖ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ λοιπῇ ἴση τῇ ὑπὸ τῶν ΔΖΕ ἐστιν. δοθεῖσα δὲ ἑκάστη τῶν πρὸς τοῖς Α, Β, Γ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἑκάστη τῶν πρὸς τοῖς Δ, Ε, Ζ. ἐπεὶ οὕν πρὸς θέσει δεδο- μένῃ εὐθείᾳ τῇ ΔΕ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ δεδο- μένῳ τῷ Δ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΔΖ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν πρὸς τῷ Δ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΖ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΕΖ θέσει ἐστίν· δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Ζ σημεῖον. ἔστι δὲ καὶ ἑκάτερον τῶν Δ, Ε δοθέν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκάστη τῶν ΔΖ, ΔΕ, EΖ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει· δέδοται ἄρα τὸ ΔΖΕ τρί- γωνον τῷ εἴδει. καί ἐστιν ὄμοιον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ· δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.

46. 41.1

    Ἐὰν τρίγωνον μίαν ἔχῃ γωνίαν δεδομένην, περὶ δὲ τὴν δεδομένην γωνίαν αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχωσι δεδομένον, δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει.

47. 41.2

    ἐχέτω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μίαν γωνίαν δεδο- μένην τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ, περὶ δὲ τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ αἱ πλευραὶ αἱ ΒΑ, ΑΓ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἐχέτωσαν δεδομένον· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον δέδοται τῷ εἴδει.

48. 41.3

    ἐκκείσθω γὰρ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένη εὐθεῖα ἡ ΔΖ καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΔΖ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Ζ τῇ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΔΖΕ. δοθεῖσα δὲ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΔΖΕ. ἐπεὶ οὖν πρὸς θέσει δεδομένῃ εὐθείᾳ τῇ ΔΖ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ δεδο- μένῳ σημείῳ τῷ Ζ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΖΕ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΔΖΕ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΕ. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ δοθείς, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς ΔΖ πρὸς τὴν ΖE καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΔΖ πρὸς τὴν ΖE δοθείς· δοθεῖσα δὲ ἡ ΔΖ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΖΕ. ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει. καί ἐστι τὸ Ζ δοθέν· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ε. ἔστι δὲ καὶ ἑκάτερον τῶν Δ, Ζ δοθέν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκάστη τῶν ΔΖ, ΖΕ, ΔΕ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει· δέδοται ἄρα τὸ ΔΖΕ τῷ εἴδει. καὶ ἐπεὶ δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ μίαν γωνίαν μίᾳ γωνίᾳ ἴσην ἔχει, τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ τῇ ὑπὸ τῶν ΔΖΕ, περὶ δὲ τὰς ὑπὸ τῶν ΒΑΓ, ΔΖΕ γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔEΖ τριγώνῳ. δέ- δόται δὲ τὸ ΔΖΕ τῷ εἴδει· δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.

49. 42.1

    Ἐὰν τριγώνου αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχωσι δεδομένον, δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει.

50. 42.2

    τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἐχέτωσαν δεδομένον· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓ τρί- γωνον δέδοται τῷ εἴδει.

51. 42.3

    ἐκκείσθω γὰρ δεδομένη τῷ μεγέθει εὐθεῖα ἡ Δ. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΓ δοθείς, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς Δ πρὸς τὴν Ε. δοθεῖσα δὲ ἡ Δ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ Ε. πάλιν ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΑΓ δοθείς, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς Ε πρὸς τὴν Ζ. δοθεῖσα δὲ ἡ E· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ Ζ. καὶ ἐκ τριῶν εὐθειῶν, αἵ εἰσιν ἴσαι τρισὶ ταῖς δοθεί- σαις ταῖς Δ, Ε, Ζ, ὧν αἰ δύο τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, τρίγωνον συνεστάτω τὸ ΗΘΚ· ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν Δ τῇ ΗΘ, τὴν δὲ Ε τῇ ΘΚ, τὴν δὲ Ζ τῇ ΗΚ. δοθεῖσα δὲ ἑκάστη τῶν Δ, Ε, Ζ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἑκάστη τῶν ΗΘ, ΘΚ, ΚΗ τῷ μεγέθει· δέδοται ἄρα τὸ ΗΘΚ τρίγωνον τῷ εἴδει. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ε, ἴση δὲ ἡ μὲν Δ τῃ ΗΘ, ἡ δὲ Ε τῇ ΘΚ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΗΘ πρὸς τὴν ΘΚ. πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΓʼ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ Ε πρὸς τὴν Ζ, ἴση δὲ ἡ μὲν Ε τῇ ΘΚ, ἡ δὲ Ζ τῃ ΗΚ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΚΗ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ. οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΘΚ· διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΚ. ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρί- γωνον τῷ ΗΘΚ τριγώνῳ. δέδοται δὲ τὸ ΗΘΚ τρί- γωνον τῷ εἴδει· δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωον τῷ εἴδει.

52. 43.1

    Ἐὰν τριγώνου ὀρθογωνίου περὶ μίαν τῶν ὀξειῶν γωνιῶν αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχωσι δεδο– μένον, δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει.

53. 43.2

    τριγώνου γὰρ ὀρθογωνίου τοῦ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον- τος τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνίαν, περὶ μίαν τῶν ὀξειῶν αὐτοῦ γωνιῶν τὴν ὑπὸ ΑΒΓ αἱ πλευραὶ αἱ ΓΒ, ΒΑ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἐχέτωσαν δεδομένον· λέγω, ὅτι δέδοται τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.

54. 43.3

    ἐκκείσθω γὰρ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένη εὐθεῖα ἡ ΔΕ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΔΕ ἡμικύκλιον τὸ ΔΗE· θέσει ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΗΕ ἡμικύκλιον. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ δοθείς, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς ΔΕ πρὸς τὴν Ζ· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΔΕ πρὸς τὴν Ζ δοθείς. δοθεῖσα δὲ ἡ ΔΕ· δο– θεῖσα ἄρα καὶ ἡ Ζ. καί ἐστι μείζων ἡ ΓΒ τῆς ΒΑ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΕΔ τῆς Ζ. ἐνηρμόσθω τῇ Ζ ἱση ἡ ΔΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗE, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Δ, διαστήματι δὲ τῷ ΔΗ κύκλος γεγράφθω ὁ ΘΗΚ· θέσει ἄρα ἐστὶν ὁ ΘΗΚ κύκλος· δέδοται γὰρ αὐτοῦ τὸ κέντρον τῇ θέσει καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῷ μεγέθει. θέσει δὲ καὶ τὸ ΔΗE ἡμικύκλιον. δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Η σημεῖον. ἔστι δὲ καὶ ἑκάτερον τῶν Δ, Ε δοθέν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκάστη τῶν ΗΔ, ΔΕ, ΕΗ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει· δέδοται ἄρα τὸ ΗΔΕ τρίγωνον τῷ εἴδει. ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΒΓ, ΔEΗ μίαν γωνίαν μίᾳ γωνίᾳ ἴσην ἔχοντα τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ τῇ ὑπὸ τῶν ΔΗΕ, περὶ δὲ ἄλλας γωνίας τὰς ὑπὸ τῶν ΓΒΑ, ΕΔΗ τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, τῶν δὲ λοιπῶν τῶν ὑπὸ ΒΓΑ, ΔΕΗ ἑκατέραν ἄμα ἐλάσσονα ὀρθῆς, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΗ τριγώνῳ. δέδοται δὲ τὸ ΔΕΗ τρίγωνον τῷ εἴδει· δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.

55. 44.1

    Ἐὰν τρίγωνον μίαν ἔχῃ γωνίαν δεδομένην, περὶ δὲ ἄλλην γωνίαν αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχωσι δεδομένον, δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει.

56. 44.2

    ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μίαν ἔχον γωνίαν δεδο- μένην τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ, περὶ δὲ ἄλλην γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ αἱ πλευραὶ αἱ ΑΒ, ΒΓ λόγον ἐχέτωσαν πρὸς ἀλλήλας δεδομένον· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον δέδοται τῷ εἴδει.

57. 44.3

    μὴ ἔστω δὴ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία ὀρθή, ἀλλʼ ἔστω πρότερον ὀξεῖα, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β σημείου ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἡ ΒΔ. ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΔΑ γωνία, ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΔ δοθεῖσα, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΔ δοθεῖσά ἐστιν· δέδοται ἄρα τὸ ΒΑΔ τρίγωνον τῷ εἴδει· λόγος ἄρα τῆς ΒΑ πρὸς τὴν ΒΔ δοθείς. ἀλλὰ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τῆς ΒΔ ἄρα πρὸς τὴν ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΔΓ· δέδοται ἄρα τὸ ΒΔΓ τρίγωνον τῷ εἴδει· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ γωνία. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ δοθεῖσα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἐστι δοθεῖσα· δέδοται ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.

58. 44.4

    ἀλλὰ δὴ ἔστω ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία ἀμβλεῖα, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΓΑ ἐπὶ τὸ Ε, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β σημείου ἐπὶ τὴν ΑΕ κάθετος ἡ ΒΕ. ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ, καὶ ἡ ἐφεξῆς ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΕ δοθεῖσά ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΕΑ δοθεῖσα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΕΒΑ δοθεῖσά ἐστιν· δέδοται ἄρα τὸ ΕΒΑ τρίγωνον τῷ εἴδει· λόγος ἄρα τῆς ΕΒ πρὸς τὴν ΒΑ δοθείς. τῆς δὲ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τῆς ΕB ἄρα πρὸς τὴν ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ τῶν ΒEΓ γωνία· δέδοται ἄρα τὸ EΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΓΕ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία δοθεῖσα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία δοθεῖσά ἐστιν· δέδοται ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.

59. 45.1

    Ἐὰν τρίγωνον μίαν ἔχῃ γωνίαν δεδομένην, αἱ δὲ περὶ τὴν δεδομένην γωνίαν πλευραὶ συναμφότεραι ὡς μία πρὸς τὴν λοιπὴν λόγον ἔχωσι δεδομένον, δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει.

60. 45.2

    ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μίαν γωνίαν δεδομένην ἔχον τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ, περὶ δὲ τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γω- νίαν αἰ πλευραί, τουτέστι συναμφότερος ἡ ΒΑΓ ὡς μία πρὸς τὴν ΓΒ λόγον ἐχέτω δεδομένον· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον δέδοται τῷ εἴδει.

61. 45.3

    τετμήσθω γὰρ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία δίχα τῇ ΑΔ εὐθείᾳ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΔ γωνία. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΔ· καὶ ὡς συναμφότερος ἄρα ἡ ΒΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ. λόγος δὲ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΒΑ πρὸς τὴν ΒΔ δοθείς. καί ἐστι δο- θεῖσα ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΔ γωνία· δέδοται ἄρα τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ εἴδει· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΔ γωνία. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία δοθεῖσα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΗ δοθεῖσά ἐστιν· δέδοται ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.

62. 46.1

    Ἐὰν τρίγωνον μίαν ἔχῃ γωνίαν δεδομένην, περὶ δὲ ἄλλην γωνίαν αἱ πλευραὶ συναμφότεραι ὡς μία πρὸς τὴν λοιπὴν λόγον ἔχωσι δεδομένον, δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει.

63. 46.2

    ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μίαν ἔχον γωνίαν δεδο- μένην τὴν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, περὶ δὲ ἄλλην γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ αἱ πλευραί, τουτέστι συναμφότερος ἡ ΒΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ λόγον ἐχέτω δεδομένον· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον δέδοται τῷ εἴδει.

64. 46.3

    τετμήσθω γὰρ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία δίχα τῇ ΑΔ εὐθείᾳ· ἔστιν ἄρα ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ. λόγος δὲ τοῦ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ δοθείς. καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΔ γωνία· δέδοται ἄρα τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ εἴδει· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΔ γωνία. καί ἐστιν αὐτῆς διπλασίων ἡ ὑπὸ ΒΑΓ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ δοθεῖσα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ δοθεῖσά ἐστιν· δέδοται ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.

65. 47.1

    Τὰ δεδομένα εὐθύγραμμα τῷ εἴδει εἰς δεδομένα τρίγωνα διαιρεῖται τῷ εἴδει.

66. 47.2

    ἔστω δεδομένον εὐθύγραμμον τῷ εἴδει τὸ ΑΒΓΔΕ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓΔΕ εὐθύγραμμον εἰς δεδομένα τρί- γωνα διαιρεῖται τῷ εἴδει.

67. 47.3

    ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ, ΕΓ. ἐπεὶ δέδοται τὸ ΑΒΓΔΕ εὐθύγραμμον τῷ εἴδει, δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΕ γωνία. καί ἐστι λόγος τῆς ΒΑ πρὸς τὴν ΕΑ δοθείς. ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΕ γωνία καί ἐστι λόγος τῆς ΒΑ πρὸς τὴν ΕΑ δοθείς, δέδοται ἄρα τὸ ΒΑΕ τρίγωνον τῷ εἴδει· δο- θεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ γωνία. ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ γωνία δοθεῖσα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΕΒΓ δοθεῖσά ἐστιν. καί ἐστι λόγος τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ δοθείς, τῆς δὲ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τῆς ΕΒ ἄρα πρὸς τὴν ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ὑπὸ τῶν ΓΒΕ γωνία· δέδοται ἄρα τὸ ΒΓΕ τρίγωνον τῷ εἴδει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΓΔΕ τρίγωνον τῷ εἴδει δέδοται· τὰ ἄρα δεδομένα εὐθύγραμμα τῷ εἴδει εἰς δεδομένα τρίγωνα διαιρεῖται τῷ εἴδει.

68. 48.1

    Ἐὰν ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο τρίγωνα ἀναγραφῇ δεδομένα τῷ εἴδει, λόγον ἕξει πρὸς ἄλληλα δεδομένον.

69. 48.2

    ἀπὸ γὰρ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΒ δύο τρίγωνα δεδομένα τῷ εἴδει ἀναγεγράφθω τὰ ΑΒΓ, ΑΔΒ· λέγω, ὅτι λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΓΒ πρὸς τὸ ΑΔΒ δοθείς.

70. 48.3

    ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Α, Β σημείων τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς αἱ AΕ, ΗΒ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰ Ζ,Θ. καὶ διὰ τῶν Γ Δ σημείων τῇ ΑΒ εὐθείᾳ παράλληλοι ῆχθωσαν αἱ ΕΓΗ, ΖΔΘ. ἐπεὶ δέδοται τὸ ΑΒΓ τρί- γωνον τῷ εἴδει, λόγος ἐστὶ τῆς ΓΑ πρὸς τὴν ΒΑ δο- θείς. ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑΒ γωνία, ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΕΑΒ δοθεῖσα, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΕΑΓ ἐστι δοθεῖσα. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ γωνία δοθεῖσα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΕΓΑ δοθεῖσά ἐστιν· δέδοται ἄρα τὸ ΑΕΓ τρίγωνον τῷ εἴδει· λόγος ἄρα τῆς ΕΑ πρὸς τὴν ΑΓ δοθείς. τῆς δὲ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τῆς ΕΑ ἄρα πρὸς τὴν ΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τῆς ΖΑ πρὸς τὴν ΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς· ὥστε καὶ τῆς ΕΑ πρὸς τὴν ΑΖ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΑΖ, οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΘΑ· ὥστε καὶ τοῦ ΑΗ πρὸς τὸ ΑΘ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι τοῦ μὲν ΑΗ ἥμισυ τὸ ΑΒΓ, τοῦ δὲ ΑΘ ἥμισυ τὸ ΑΔΒ· καὶ τοῦ ΑΒΓ ἄρα πρὸς τὸ ΑΔΒ λόγος ἐστὶ δοθείς.

71. 49.1

    Ἐὰν ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο εὐθύγραμμα, ἃ ἔτυχεν, ἀναγραφῇ δεδομένα τῷ εἴδει, λόγον ἕξει πρὸς ἄλληλα δεδομένον.

72. 49.2

    ἀπὸ γὰρ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΒ δύο εὐθύ- γραμμα, ἅ ἔτυχεν, δεδομένα τῷ εἴδει ἀναγεγράφθω τὰ ΑΕΓΖΒ, ΑΔΒ· λέγω, ὅτι λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΕΓΖΒ πρὸς ΑΔΒ δοθείς.

73. 49.3

    ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΖ, ΖE· δέδοται ἄρα ἕκα- στον τῶν ΕΓΖ, ΕΖΑ, ΖΑΒ τριγώνων τῷ εἴδει. καὶ ἐπεὶ ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΕΖ δύο τρίγωνα δεδο- μένα τῷ εἴδει ἀναγέγραπται τὰ ΕΖΓ, EΖΑ, λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ΓΕΖ πρὸς τὸ ΖΕΑ δοθείς· καὶ συν- θέντι ἄρα λόγος ἐστὶ τοῦ ΓΕΑΖ πρὸς τὸ ΖEΑ δο- θείς. τοῦ δὲ ΖΕΑ πρὸς τὸ ΖΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς, ἐπειδήπερ ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΖ ἀναγέγραπται· καὶ τοῦ ΓEΑΖ ἄρα πρὸς τὸ ΖΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ συνθέντι τοῦ ΓΕΒΖΑ πρὸς τὸ ΖΒΑ λόγος ἐστὶ δοθείς. τοῦ δὲ ΖΑΒ πρὸς τὸ ΑΔΒ λόγος ἐστὶ δο- θείς· καὶ τοῦ ΓEΑΒΖ ἄρα πρὸς τὸ ΑΔΒ λόγος ἐστὶ δοθείς.

74. 50.1

    Ἐὰν δύο εὐθεῖαι πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχωσι δεδο- μένον, καὶ τὰ ἀπʼ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοια καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα πρὸς ἄλληλα λόγον ἕξει δεδομένον.

75. 50.2

    δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ AΒ, ΓΔ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἐχέτωσαν δεδομένον, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ ὅμοια καὶ ὁμοίως κείμενα εὐθύγραμμα τὰ Ε, Ζ· λέγω, ὅτι καὶ ὁ πρὸς ἄλληλα αὐτῶν λόγος ἔσται δοθείς.

76. 50.3

    εἰλήφθω γὰρ τῶν ΑΒ, ΓΔ τρίτη ἀνάλογον ἡ Η· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, ἡ ΓΔ πρὸς τὴν Η· λόγος δὲ ὁ τῆς ΑΒ πρὸς ΓΔ δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΓΔ πρὸς τὴν Η δοθείς· ὥστε καὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Η λόγος ἐστὶ δοθείς. ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Η. οὕτως τὸ Ε πἐρὸς τὸ Ζ· λόγος ἄρα τοῦ Ε πρὸς τὸ Ζ δοθείς.

77. 51.1

    Ἐὰν δύο εὐθεῖαι πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχωσι δεδο- μένον καὶ ἀπʼ αὐτῶν εὐθύγραμμα, ἂ ἔτυχεν, ἀναγραφῇ δεδομένα τῷ εἴδει, λόγον ἕξει πρὸς ἄλληλα δεδομένον.

78. 51.2

    δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΔ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἐχέτωσαν δεδομένον, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ εὐθύγραμμα, ἅ ἔτυχεν, δεδομένα τῷ εἴδει τὰ Ε, Ζ· λέγω, ὅτι τοῦ Ε πρὸς τὸ Ζ λόγος ἐστὶ δοθείς.

79. 51.3

    ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ Ζ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ ΑΗΒ. δέδοται δὲ τὸ Ζ τῷ εἴδει· δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΑΗΒ τῷ εἴδει. ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ Ε δέδοται τῷ εἴδει καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΒ· λόγος ἄρα τοῦ Ε πρὸς τὸ ΑΗΒ δοθείς. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ δοθείς, καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ ὅμοια καὶ ὁμοίως κείμενα εὐθύγραμμα τὰ ΑΗΒ, Ζ, λόγος ἄρα τοῦ ΑΗΒ πρὸς τὸ Ζ δοθείς· τοῦ δὲ ΑΗΒ πρὸς τὸ Ε λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ Ε ἄρα πρὸς τὸ λόγος ἐστὶ δοθείς.

80. 52.1

    Ἐὰν ἀπὸ δεδομένης εὐθείας τῷ μεγέθει δεδομένον τῷ εἴδει εἶδος ἀναγραφῇ, δέδοται τὸ ἀναγραφὲν τῷ μεγέθει.

81. 52.2

    ἀπὸ γὰρ δεδομένης εὐθείας τῷ μεγέθει τῆς ΑΒ δεδομένον τῷ εἴδει εἶδος ἀναγεγράφθω τὸ ΑΓΔΕΒ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΓΔΕΒ δέδοται τῷ μεγέθει.

82. 52.3

    ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΖ· δέδοται ἄρα τὸ ΑΖ τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει. καὶ ἐπεὶ ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΒ δύο εὐθύγραμμα ἀνα- γέγραπται δεδομένα τῷ εἴδει τὰ ΑΓΔΕΒ, ΑΖ, λόγος ἄρα τοῦ ΑΓΔΕΒ πρὸς τὸ ΑΖ δοθείς· δέδοται δὲ τὸ ΑΖ τῷ μεγέθει· δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΑΓΔΕΒ τῷ μεγέθει.

83. 53.1

    Ἐἁν δύο εἴδη τῷ εἴδει δεδομένα ᾖ καὶ μία πλευρὰ τοῦ ἑνὸς πρὸς μίαν πλευρὰν τοῦ ἑτέρου λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ αἱ λοιπαὶ πλευραὶ πρὸς τὰς λοιπὰς πλευρὰς λόγον ἕξουσι δεδομένον.

84. 53.2

    ἔστω δύο εἴδη τῷ εἴδει δεδομένα τὰ ΑΔ, ΕΘ, καὶ λόγος τῆς ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ δοθείς· λέγω, ὅτι καὶ τῶν λοιπῶν πελευρῶν πρὸς τὰς λοιπὰς πλευρὰς λόγος ἐστὶ δοθείς.

85. 53.3

    ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶ τῆς ΔΒ πρὸς τὴν ΖΘ δοθείς, τῆς δὲ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΑ λόγος ἐστὶ δοθείς, καὶ τῆς ΑΒ ἄρα πρὸς τὴν ΖΘ λόγος ἐστὶ δοθείς. τῆς δὲ ΖΘ πρὸς ΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τῆς ΑΒ ἄρα πρὸς τὴν ΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τῶν λοιπῶν πλευρῶν πρὸς τὰς λοιπὰς λόγος ἐστὶ δοθείς.

86. 54.1

    Ἐὰν δύο εἴδη δεδομένα τῷ εἴδει πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ αἱ πλευραὶ αὐτῶν πρὸς ἀλλήλας λόγον ἕξουσι δεδομένον.

87. 54.2

    δύο γὰρ εἴδη δεδομένα τῷ εἴδει τὰ Α, Β πρὸς ἄλληλα λόγον ἐχέτω δεδομένον· λέγω, ὅτι καὶ αἱ πλευράὶ αὐτῶν πρὸς ἀλλήλας λόγον ἕξουσι δεδομένον.

88. 54.3

    τὸ γὰρ Α τῷ Β ἤτοι ὅμοιόν ἐστιν ἢ οὔ. ἔστω πρότερον ὅμοιον, καὶ εἰλήφθω τῶν ΓΔ, ΕΖ τρίτη ἀνά- λογον ἡ Η. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν Η, οὕτως τὸ Α πρὸς τὸ Β. λόγος δὲ τοῦ Α πρὸς τὸ Β δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΓΔ πρὸς τὴν δοθείς. καί εἰσιν αἱ ΓΔ, ΕΖ, Η ἀνάλογον· καὶ τῆς ΓΔ ἄρα πρὸς τὴν ΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστιν ὅμοιον τὸ Α τῷ Β· καὶ αἱ λοιπαὶ ἄρα πλευραὶ πρὸς τὰς λοιπὰς πλευρὰς λόγον ἕξουσι δεδομένον.

89. 54.4

    μὴ ἔστω δὴ ὅμοιον τὸ Α τῷ Β, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ Α ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ ΕΘ· δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΕΘ τῷ εἴδει· δέδοται δὲ καὶ τὸ Β· λόγος ἄρα τοῦ Β πρὸς τὸ ΕΘ δοθείς· τοῦ δὲ Β πρὸς τὸ Α λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ Α ἄρα πρὸς τὸ ΕΘ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ ὅμοιον τὸ Α τῷ ΕΘ· λόγος ἄρα τῆς ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ δοθείς. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τῶν λοιπῶν πλευρῶν πρὸς τὰς λοιπὰς πλευρὰς λόγος ἐστὶ δοθείς.

90. 55.1

    Ἐὰν χωρίον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένον ᾖ, καὶ αἰ πλευραὶ αὐτοῦ τῷ μεγέθει δεδομέναι ἔσονται.

91. 55.2

    ἔστω χωρίον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένον τὸ Α· λέγω, ὅτι καὶ αἱ πλευραὶ αὐτοῦ δεδομέναι εἰσὶ τῷ μεγέθει.

92. 55.3

    ἐκκείσθω γὰρ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένη εὐθεῖα ἠ ΒΓ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΒΓ τῷ Α ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ Δ. δέδοται δὴ τὸ Δ τῷ εἴδει. καὶ ἐπεὶ ἀπὸ δεδομένης εὐθείας τῆς ΒΓ τῷ μεγέθει δεδομένον εἶδος ἀναγέγραπται τὸ Δ, δέδοται ἄρα καὶ τὸ Δ τῷ μεγέθει· δέδοται δὲ καὶ τὸ Α· λόγος ἄρα τοῦ Α πρὸς τὸ Δ δοθείς. καί ἐστιν ὅμοιον τὸ Α τῷ Δ· λόγος ἄρα τῆς ΕΖ πρὸς τὴν ΒΓ δοθείς. δοθεῖσα δὲ ἡ ΒΓ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΕΖ. καί ἐστι λόγος τῆς ΖΕ πρὸς τὴν ΕΗ δοθείς· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΕΗ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάστη τῶν λοι- πῶν δέδοται τῷ μεγέθει.

93. 56.1

    Ἐὰν δύο ἰσογώνια παραλληλόγραμμα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ δεδομένον, ἔσται ὡς ἡ τοῦ πρώτου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου πλευράν, οὕτως ἡ λοιπὴ τοῦ δευτέρου πλευρὰ πρὸς ἢν ἡ ἑτέρα τοῦ πρώτου λόγον ἔχει δεδομένον, ὃν τὸ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ παραλληλόγραμμον.

94. 56.2

    δύο γὰρ ἰσογώνια παραλληλόγραμμα τὰ Α, Β πρὸς ἄλληλα λόγον ἐχέτω δεδομένον· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς ἣν ἡ ΓΘ λόγον ἔχει δεδομένον, ὄν τὸ Α παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ Β παραλληλόγραμμον.

95. 56.3

    ἐκβεβλήσθω γὰρ ἐπʼ εὐθείας τῆς ΓΘ εὐθεῖα ἡ ΓΚ, καὶ πεποιήσθω ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΓΚ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΓΛ παραλληλό- γραμμον. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΓΚ, ἴση δέ ἐστιν ἡ ΓΔ τῇ ΚΛ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΓΚ. καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ τῶν ΓΚΛ, ΗΕΖ αἱ πλευραὶ ἀντιπεπόνθασιν· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΔ τῷ ΗΖ. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τοῦ Α πρὸς τὸ Β δοθείς, ἴσον δὲ τὸ Β τῷ ΓΛ, λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ΘΔ πρὸς τὸ ΓΛ δοθείς. ὡς δὲ τὸ ΘΔ πρὸς τὸ ΓΛ, οὕτως ἡ ΘΓ πρὸς τὴν ΓΚ· καὶ τῆς ΘΓ ἄρα πρὸς τὴν ΓΚ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΓΚ, ἡ δὲ ΓΘ πρὸς τὴν ΓΚ λόγον ἔχει δοθέντα, ὄν τὸ Α χωρίον πρὸς τὸ Β, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς ἣν ἡ ΘΓ λόγον ἔχει, ὅν τὸ Α χωρίον πρὸς τὸ Β χωρίον.

96. 57.1

    Ἐὰν δοθὲν παρὰ δοθεῖσαν παραβληθῇ ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ, δέδοται τὸ πλάτος τῆς παραβολῆς.

97. 57.2

    δοθὲν γὰρ τὸ ΑΗ παρὰ δοθεῖσαν τὴν ΒΑ παρα- βεβλήσθω ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ τῶν ΓΑΒ· λέγω, ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΓΑ.

98. 57.3

    ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΕΒ· δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΒ. καὶ διήχθωσαν αἱ ΕΑ, ΖΒ, ΓΗ ἐπὶ τὰ Δ, Θ. καὶ ἐπεὶ δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΕΒ, ΑΗ, λόγος ἄρα τοῦ ΕΒ πρὸς τὸ ΑΗ δοθείς. ἴσον δὲ τὸ ΗΑ τῷ ΑΘ· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΕΒ πρὸς τὸ ΑΘ δοθείς· ὥστε καὶ τῆς ΕΑ πρὸς τὴν ΑΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. ἴση δὲ ἡ ΕΑ τῇ ΑΒ· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΒΑ πρὸς ΑΔ δοθείς. καὶ ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑΒ, ὧν ἡ ὑπὸ ΔΑΒ δοθεῖσά ἐστιν, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑΔ ἐστι δοθεῖσα. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΓΔΑ δοθεῖσα· ὀρθὴ γάρ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΔ δοθεῖσά ἐστιν· δέδοται ἄρα τὸ ΑΓΔ τρίγωνον τῷ εἴδει· λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ δοθείς. τῆς δὲ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τῆς ΓΑ ἄρα πρὸς τὴν ΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ΒΑ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΓ. καί ἐστι τὸ πλάτος τοῦ παραβλήματος.

99. 58.1

    Ἐὰν δοθὲν παρὰ δοθεῖσαν παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει δεδομένῳ τῷ εἴδει, δέδοται τὰ πλάτη τοῦ ἐλλεί- ματος.

100. 58.2

     δοθὲν γὰρ τὸ ΑΓ παρὰ δοθεῖσαν τὴν ΑΔ παρα- βεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει δεδομένῳ τῷ ΓΔ· λέγω, ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΒΓ ΒΔ.

← Previous · Next → — showing 101–200 of 331

First Thousand Years of Greek. CTS URN tlg1799.tlg007.1st1K-grc1. Via the Perseus Digital Library / Open Greek and Latin TEI corpora. Licence: Available under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License. Source.