Commentarii in libros de sphaera et cylindro

First Thousand Years of Greek · First Thousand Years of Greek · 248 sections

1.1
Εἰς τὰ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου Ἀρχιμήδους οὐδένα τῶν πρὸ ἡμῶν ἀξίαν εὑρὼν σύνταξιν καταζεζλημένον καὶ κατανοήσας μὴ διʼ εὐμάρειαν τῶν θεωρημάτων τοῦτο παροραθῆναι· ἐπιστάσεως γὰρ ἀκριζοῦς, ὡς ἴστε, καὶ εὐεπιζόλου δεῖται φαντασίας· ὠρέχθην κατʼ ἐμὴν δύναμιν σαφῶς ἐκθέσθαι τὰ ἐν αὐτοῖς δυσθεώρητα προαχθεὶς μᾶλλον εἰς τοῦτο τῷ μηδένα πω καθεῖναι εἰς ταύτην τὴν ὑπόθεσιν ἢ διὰ τὴν δυσκολίαν ὀκνήσας καὶ ἅμα τὸ Σωκρατικὸν λογισάμενος, ὡς τοῦ θεοῦ συλλαμζάνοντος πάνυ εἰκὸς καὶ ἐπὶ τέλος ἡμᾶς τῆς σπουδῆς ἐλθεῖν· ἐκ τρίτων δὲ διανοηθεὶς ὡς, εἴ τι καὶ παρὰ μέλος διὰ νεότητα φθέγξομαι, τοῦτο ὑπὸ τῆς σῆς περί τε τὴν ἄλλην φιλοσοφίαν ἐπιστημονικῆς θεωρίας καὶ διαφερόντως περὶ τὰ μαθήματα ἐπανορθώσεως τεύξεται, ἀνέθηκά σοι, κράτιστε φιλοσόφων Ἀμμώνιε. Πρέποι δ᾿ ἄν σοι τῇ ἐμῇ σπουδῇ συνάρασθαι, καὶ εἰ μὲν ἀνεμιαῖον δόξῃ τὸ γράμμα, αὐτόθεν μηδὲ εἰς ἄλλον ἐλθεῖν συγχωρήσῃς, εἰ δὲ τοῦ σκοποῦ μὴ πάντη διαμαρτάνον, δήλωσον ἣν ἔχεις περὶ αὐτοῦ γνώμην, ὡς εἴ γε τῇ ὑμετέρᾳ κρίσει βεζαιωθῇ, πειράσομαι καὶ ἄλλο τυχὸν τῶν Ἀρχιμηδείων συντάξεων ἑρμηνεῦσαι.
2.1
Προειπὼν τὰ μέλλοντα ἐκτίθεσθαι ὑπʼ αὐτοῦ θεωρήματα τὸ σύνηθες πᾶσιν γεωμέτραις ἐν τῇ ἐκθέσει τηρῶν τάς τε ὀνομασίας, αἷς αὐτὸς κατʼ ἐξουσίαν ἐχρήσατο, καὶ τοὺς ὅρους τῶν ὑποθέσεων καὶ αὐτὰς τὰς ὑποθέσεις διὰ τῆς ἀρχῆς τοῦ συγυράμματος διασαφῆσαι βούλεται καί φησιν πρῶτον εἶναί τινας ἐν ἐπιπέδῳ καμπύλας γραμμάς, αἵτινες τῶν ἐπιζευχνυουσῶν τὰ πέρατα αὐτῶν εὐθειῶν ἢ πᾶσαι ἐπὶ τὰ αὐτά εἰσιν ἢ οὐδὲν ἔχουσιν ἐπὶ τὰ ἕτερα. Σαφὲς δ᾿ ἂν εἴη τὸ λεγόμενον, εἰ γνωσόμεθα τίνας καλεῖ τὰς ἐν ἐπιπέδῳ καμπύλας γραμμάς. Ἰστέον οὖν ὅτι καμπύλας γραμμὰς καλεῖ οὐχ ἁπλῶς τὰς κυκλικὰς ἢ κωνικὰς ἢ ἄκλαστον ἐχούσας τὴν συνέχειαν, ἀλλὰ πᾶσαν ἁπλῶς ἐν ἐπιπέδῳ γραμμὴν τὴν παρὰ τὴν εὐθεῖαν καμπύλην ὀνομάζει, μίαν δὲ γραμμὴν ἐν ἐπιπέδῳ τὴν ὁπωσοῦν συναπτομένην, ὥστε κἂν ἐξ εὐθειῶν σύφκειται τῇ ΑΒΓ △. Ἀλλ᾿ ἐπειδή, ὡς καὶ ἀνωτέρω εἴρηται, καμπύλας γραμμὰς οὐ τὰς περιφερεῖς μόνον καλεῖ, ἀλλὰ καὶ τὰς ἐξ εὐθειῶν συγκειμένας, ἐκ δὲ τούτων ἦν ἡ ἐπιλογὴ τῶν ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλων, ἐνδεχόμενον ἂν εἴη λαζεῖν ἐπί τινος ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλης γραμμῆς δύο τυχόντα σημεῖα, ὥστε τὴν ἐπ᾿ αὐτὰ ἐπιζευγνυμένην εὐθεῖαν ἐπὶ μηδέτερα μὲν μέρη πίπτειν τῆς γραμμῆς, ἐπ᾿ αὐτὴν δὲ ἐφαρμόζειν. Διό φησιν ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλην καλεῖν γραμμήν, ἐν ἧ αἱ διὰ δύο ὁποιωνοῦν σημείων ἀχόμενοι εὐθεῖαι ἤτοι πᾶσαι ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη πίπτουσιν τῆς γραμμῆς ἢ τινὲς μὲν ἐπὶ τὰ αὐτά, τινὲς δὲ κατʼ αὐτῆς, ἐπὶ τὰ ἕτερα δὲ μέρη οὐδεμία τὰ δὲ αὐτὰ ἔξεστιν ἐπινοεῖν καὶ ἐπὶ τῶν ἐπιφανειῶν.
2.2
Εἶτα ἑξῆς ὀνομάζει τομέα στερεὸν καὶ ῥόμβον στερεὸν σαφῶς ἐμφανίζων τὴν ἔννοιαν τῶν ὀνομάτων.
2.3
Μετὰ δὲ ταῦτα αἰτήματά τινα λαμβάνειν ἀξιοῖ χρησιμεύοντα αὐτῷ πρὸς τὰς ἑξῆς ἀποδείξεις καὶ ὄντα μὲν κἀξ αὐτῆς τῆς αἰσθήσεως ὡμολογημένα, οὐδὲ δὲ ἧττον δυνατὰ καὶ ἀποδειχθῆναι ἔκ τε τῶν κοινῶν ἐννοιῶν καὶ ἐκ τῶν δεδειγμένων ἐν τοῖς Στοιχείοις.
2.4
Ἔστι δὲ πρῶτον τῶν αἰτημάτων τὸ τοιόνδε· πασῶν τῶν ταὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν γραμμῶν ἐλαχίστην εἶναι τὴν εὐθεῖαν.
2.5
Ἔστω γὰρ ἐν ἐπιπέδῳ εὐθεῖα μέν τις πεπερασμένη ἡ ΑΒ, ἑτέρα δὲ τις γραμμὴ ἡ ΑΓΒ τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσα τὰ A, Β. φησὶν δὴ δεδόσθαι αὐτῷ τὴν ΑΒ ἐλάττονα εἶναι τῆς ΑΓΒ, Λέγω οὖν ὅτι τοῦτο ἀληθὲς ὂν ᾐτήσατο. Εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΑΓΒ τυχὸν σημεῖον τὸ Γ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΓΒ. φανερὸν δὴ ὅτι αἱ ΑΓ, ΓΒ τῆς ΑΒ μείζους εἰσίν. Πάλιν δὴ εἰλήφθωσαν ἐπὶ τῆς ΑΓΒ γραμμῆς ἄλλα τυχόντα σημεῖα τὰ △, Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Α △, △Γ, ΓΕ, ΕΒ. ὁμοίως δὴ καὶ ἐνταῦθα δῆλον ὅτι δύο μὲν αἱ Α △, △Γ τῆς ΑΓ μείζους εἰσίν, δύο δὲ αἱ ΓΕ, τῆς ΓΒ· ὥστε αἱ Α △, △Γ, ΓΕ, ΕΒ πολλῷ μείζους εἰσὶ τῆς ΑΒ. Ὁμοίως δὴ κἂν ἄλλα σημεῖα λαβόντες μεταξὺ τῶν εἰλημμένων ἐπιζεύξωμεν ἐπὶ τὰ νῦν ληφθέντα εὐθείας, εὑρήσομεν αὐτὰς ἔτι μείζους οὔσας τῆς ΑΒ, καὶ τοῦτο συνεχῶς ποιοῦντες τὰς μᾶλλον συνεγγιζούσας τῇ ΑΒΓ γραμμῇ εὐθείας ἔτι μείζους εὑρήσομεν. Ὥστε ἐκ τούτου συμφανὲς εἶναι αὐτὴν τὴν γραμμὴν μείζονα εἶναι τῆς ΑΒ δυνατοῦ ὄντος κατὰ πᾶν αὐτῆς σημεῖον ἐπιζεύξαντας εὐθείας λάβεῖν ἐξ εὐθειῶν συγκειμένην τὴν οἷον αὐτὴν οὖσαν γραμμὴν μείζονα δεικνυμένην διὰ τῶν αὐτῶν τῆς ΑΒ οὐ γὰρ ἄτοπον ἐν ταῖς τῶν ὁμολογουμένων ἀποδείξεσιν καὶ τοιαύτας ἐννοίας προσλαμβάνειν.
2.6
Μετὰ δὴ τοῦτό φησιν λαμβάνειν καὶ τῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν γραμμῶν ἐκείνας ἀνίσους εἶναι τὰς ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλας οὔσας κατὰ τὸν ἀνωτέρω εἰρημένον τρόπον οὐ μόνον δὲ ἤρκεσεν εἰς τὸ ἀνίσους εἶναι τὸ ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλας εἶναι, ἀλλὰ καὶ ὅταν ἡ ἑτέρα τὴν ἑτέραν ἢ ὅλην περιλαμβάνῃ ἢ μέρος μὲν περιλαμβάνῃ, μέρος δὲ καὶ κοινὸν ἔχῃ καὶ μείζονα εἶναι τὴν περιλαμβάνουσαν τῆς περιλαμβανομένης.
2.7
Νενοήσθωσαν γὰρ πρὸς τὸ καὶ τοῦτο κατάδηλον γενέσθαι ἐν ἐπιπέδῳ δύο γραμμαὶ αἱ ΑΒΓ △ΕΖ καὶ ΑΗΘΖ τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι τὰ Α, καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοῖλαι καὶ ἔτι περιλαμβανομένη ὅλη ἡ ΑΗΘΖ ὑπὸ τῆς ΑΒΓ △ΕΖ γραμμῆς καὶ τῆς τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχούσης αὐταῖς τῆς ΑΖ εὐθείας. Φημὶ δὴ ὅτι καὶ ἄνισοί εἰσιν αἱ προκείμεναι γραμμαί, καὶ μείζων ἡ περιλαμβάνουσα.
2.8
Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΘ, ΓΖ, △Ζ. Ἐπεὶ οὖν, ἐὰν νοηθῇ ἐπιζευγνυμένη ἡ ΘΑ, ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν τοῦ ΑΒΘ ἐντὸς συνεσταμέναι εἰσὶν αἱ ΑΗ, ΗΘ, ἐλάττους εἰσὶν αἱ ΑΗ, ΗΘ τῶν ΑΒ, ΒΘ, Κοινὴ προσκείσθω ἡ ΘΖ αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΘ, ΘΖ ἐλάττους εἰσὶν τῶν ΑΒ, ΒΘ, ΘΖ. Ἀλλ᾿ αἱ ΒΘ, ΘΖ ἐλάττους εἰσὶ τῶν ΒΓΖ. ἐντὸς γὰρ πάλιν ἐπὶ μιᾶς τοῦ ΒΓΖ συνεσταμέναι εἰσίν· πολλῷ ἄρα αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΖ τῶν ΑΗ, ΗΘ, ΘΖ μείζους εἰσίν. Ἀλλὰ τῆς ΓΖ μείζονες αἱ Γ △, △Ζ, τῆς δὲ △Ζ αἱ △Ε, ΕΖ. ἔτι πολλῷ ἄρα αἱ ΑΒΓ △ΕΖ μείζους εἰσὶ τῶν ΑΗΘΖ.
2.9
Σαφηνείας δὲ χάριν ὑποκείσθωσαν καὶ ἕτεραι γραμμαὶ ὁμοίως ταῖς προειρημέναις ὡε αἱ ΑΒΓ △Ε, ΑΖΗΘΚΕ. Λέρω ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ περιλαμβάνουσα.
2.10
Νενοήσθωσαν γὰρ ἐκβεβλημέναι αἱ ΑΖ, ΗΘ ἐπὶ τὸ Λ. Ἐπεὶ οὖν πάλιν δύο αἱ ΖΛ, ΛΗ μείζους εἰσὶ τῆς ΖΗ, κοιναὶ προσκείσθωσαν αἱ ΑΖ, ΗΘ αἱ ἄρα ΑΛ, ΛΘ μείζους εἰσὶ τῶν ΑΖ, ΗΖ, ΗΘ, Ἀλλ᾿ αἱ ΑΛ, ΛΘ ἐλάττους τῶν ΑΒΘ πολλῷ ἄρα αἱ ΑΒΘ μείζους τῶν ΑΖΗΘ. Κοινὴ προσκείσθω ἡ ΘΚ· μείζους ἄρα αἱ ΑΒΘΚ τῶν ΑΖΗΘΚ. Ἀλλ᾿ αἱ ΒΘΚ ἐλάττους τῶν ΒΓΚ πολλῷ ἄρα μείζους αἱ ΑΒΓΚ τῶν ΑΖΗΘΚ. Κοινὴ προσκείσθω ἡ Κ· αἱ ἄρα ΑΒΓΚΕ μείζους τῶν ΑΖΗΘΚΕ. Ἀλλ᾿ αἱ ΓΚΕ ἐλάττους τῶν Γ △Ε. πολλῷ ἄρα αἱ ΑΒΓ △Ε μείζους εἰσὶ τῶν ΑΖΗΘΚΕ.
2.11
Κἂν περιφέρειαι δὲ ὦσιν ἤτοι αἱ περιλαμβάνουσαι ἢ αἱ περιλαμβανόμεναι ἢ καὶ ἀμφότεραι, τὸ αὐτὸ ἔνεστιν νοεῖν. Συνεχῶν γὰρ σημείων ἐπ᾿ αὐτῶν λαμβανομένων καὶ ἐπὶ αὐτὰ ἐπιζευγνυμένων εὐθειῶν ληφθήσονται γραμμαὶ ἐξ εὐθειῶν συγκείμεναι, ἐφ᾿ ὧν ἁρμόσει ἡ προειρημένη ἀπόδειξις, τῶν ἐξ εὐθειῶν συγκειμένων οἷον αὐτῶν γινομένων τῶν προτεθεισῶν διὰ τὸ καὶ πᾶσαν γραμμὴν κατὰ συνέχειαν σημείων τὴν ὕπαρξιν ἔχουσαν νοεῖσθαι.
2.12
Ὅτι δὲ εἰκότως τὴν ἀνισότητα τῶν γραμμῶν οὐ μόνον τῷ ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλας εἶναι ἐχαρακτήρισεν, ἀλλὰ προσέθηκεν τὸ καὶ δεῖν περιλαμβάνεσθαι τὴν ἑτέραν ὑπὸ τῆς ἑτέρας καὶ τῆς τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχούσης εὐθείας· τούτου γὰρ μὴ ὄντος οὐδὲ τὸ ἀνίσους εἶναι τὰς γραμμὰς πάντη ἀληθὲς ὑπῆρχεν, ὡς ἔστι κατανοῆσαι ἐκ τῶν ὑποκειμένων καταγραφῶν. Ἡ γὰρ ΑΒΓ △ γραμμὴ καὶ ἡ ΑΕΖ △ τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοῖλαί εἰσι, καὶ ἄδηλον ὁποτέρα αὐτῶν μείζων ἐστίν· δυνατὸν γὰρ καὶ ἴσας εἶναι. Δυνατὸν δὲ καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλην ἑκατέραν νοεῖν καὶ τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχούσας ἀμφοτέρας, κατʼ ἐναντίαν δὲ θέσιν ἀλλήλαις κειμένας, ὡς ὁποτέρα τῶν εἰρημένων τῇ ΑΗΘΚ △ καὶ οὕτως γὰρ ἄδηλος ἥ τε ἰσότης καὶ ἀνισότης αὐτῶν. Διὸ καλῶς πρόσκειται τὸ δεῖν ἢ ὅλην τὴν ἑτέραν ὑπὸ τῆς ἑτέρας περιλαμβάνεσθαι καὶ τῆς τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχούσης εὐθείας, ἢ τινὰ μὲν περιλαμβάνεσθαι, τινὰ δὲ καὶ κοινὰ ἔχειν, ὡς ἐπὶ τῶν ΑΗΘΚ △ καὶ ΑΛΜΝΞ △ ἐπὶ γὰρ τούτων τινὰ μὲν περιλαμβάνεται, τινὰ δὲ κοινά ἐστιν, ὡς τὰ AΛ, ΜΝ.
2.13
Δεόντως δὲ πάνυ κἀκεῖνο πρὸς κρίσιν τῆς ἀνισότητος παρελήφθη τὸ δεῖν τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχειν τὰς γραμμάς· τούτου γὰρ μὴ ὄντος οὐδ᾿ , ἂν περιλαμβάνοιντο ὑπὸ ἀλλήλων, πάντως ἄνισοί εἰσιν, ἀλλ᾿ ἐνίοτε ἴσαι, ἢ καὶ ἡ περιλαμβανομένη μείζων. Ὅπερ ἵνα σαφὲς γένηται, νενοήσθωσαν ἐν ἐπιπέδῳ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒΓ ἀμβλεῖαν τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν περιέχουσαι, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΒΓ τυχὸν σημεῖον τὸ △, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Α △, ΑΓ. Ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ Α △ τῆς ΑΒ, κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ △Ε, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΕ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ. Ἐπεὶ οὖν δύο αἱ ΑΖΓ τῆς ΑΓ μείζους εἰσίν, ἴση δὲ ἡ ΑΖ τῇ ΖΕ, καὶ αἱ ΕΖΓ ἄρα τῆς ΑΓ μείζους εἰσίν. Κοιναὶ προσκείσθωσαν αἱ ΑΒ, △Ε. αἱ ἄρα △ΖΓ τῶν ΒΑΓ μείζους εἰσίν. Ὥστε μιᾶς γραμμῆς νοουμένης τῆς ΒΑΓ ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλης, ἑτέρας δὲ τῆς △ΖΓ περιλαμβανομένης ὑπὸ τῆς ἑτέρας, μὴ ἐχούσης δὲ τὰ αὐτὰ πέρατα, οὐ μόνον ὅτι οὐ μείζων ἡ περιλαμβάνουσα, ἀλλὰ καὶ ἐλάττων ἐδείχθη.
2.14
Καὶ ἐπὶ γραμμῶν δὲ ἐκ πλειόνων εὐθειῶν συχκειμένων τὸ αὐτὸ τοῦτο ἔστι θεωρῆσαι. Νενοήσθωσαν γὰρ ἐν ἐπιπέδῳ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒΓ καὶ τυχὸν σημεῖον τὸ △ καὶ ἐπεζευγμένη ἡ Α △. Πάλιν δὴ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ △Ε, καὶ ἡ ΕΑ δίχα τετμήσθω τῷ Ζ, καὶ τῇ Α △ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΑΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΗ· καὶ κείσθω τῇ ΑΗ ἴση ἡ ΖΘ, καὶ πάλιν δίχα τετμήσθω ἡ ΘΗ κατὰ τὸ Κ, καὶ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΖΗ ἤχθω ἡ ΗΛ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΛ· καὶ πάλιν τῇ ΗΛ ἴση ἡ ΚΜ, καὶ δίχα τετμήσθω ἡ ΜΛ τῷ Ν, καὶ πάλιν πρὸς ὀρθὰς τῇ ΚΛ ἤχθω ἡ ΛΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΝΓ. φανερὸν οὖν διὰ τὰ προδεδειγμένα ὅτι μείζων ἡ μὲν △Ζ τῆς ΑΒ, ἡ δὲ ΖΚ τῆς ΑΗ, ἡ δὲ ΚΝ τῆς ΗΛ, ἡ δὲ ΝΓ τῆς ΛΓ· ὥστε καὶ ὅλη ἡ γραμμὴ ἡ △ΖΚΝΓ μείζων τῆς ΒΑΗΛΓ.
2.15
Καλῶς ἄρα προσετέθη τὸ τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχειν ἐπὶ τῶν ἀνίσων.
2.16
Τὰ αὐτὰ δὲ δυνατὸν ἐπινοοῦντα δεικνύειν καὶ ἐπὶ τῶν ἐπιφανειῶν ἀνὰ πᾶσι τοῖς προειρημένοις, ὅταν αἱ λαμβανόμεναι ἐπιφάνειαι τὰ πέρατα ἔχωσιν ἐν ἐπιπέδοις.
3.1
Τὸ δὴ ΑΓ ἑαυτῷ ἐπισυντιθέμενον ὑπερέξει τοῦ △ | Δηλαδὴ ὡς τοῦ ΑΒ ἤτοι ἐπιμορίου ἢ καὶ ἐπιμεροῦς τυγχάνοντος τοῦ △. Εἰ δὲ εἴη τὸ ΑΒ τοῦ △ ἤτοι πολλαπλάσιον ἢ πολλαπλασιεπιμόριον ἢ καὶ πολλαπλασιεπιμερές, ἀφαιρεθέντος ἀπὸ τοῦ ΑΒ ἴσου τῷ △ τοῦ ΒΓ τὸ λοιπὸν τὸ ΓΑ ὑπερέξει τοῦ △, ὥστε μηκέτι πολλαπλασιάζεσθαι αὐτό, ἀλλ᾿ αὐτόθεν δεῖν τῷ ΑΓ ἴσον ἀποτίθεσθαι τὸ ΑΘ, καὶ τὴν αὐτὴν ἀπόδειξιν ἁρμόζειν.
3.2
Καὶ συνθέντι τὸ ΖΕ πρὸς ΖΗ ἐλάσσονα λόχον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ Ὅτι γάρ, ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ ἤπερ τρίτον πρὸς τέταρτον, καὶ συνθέντι ὁ αὐτὸς λόγος ἀκολουθεῖ, δειχθήσεται οὕτως.
3.3
Ἔστωσαν τέσσαρα μεγέθη τὰ ΑΒ, ΒΓ, △Ε, ΕΖ, τὸ δὲ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ μείζονα λόγον ἐχέτω ἤπερ τὸ △Ε πρὸς τὸ ΕΖ. Λὲγω ὅτι καὶ συνθέντι τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ △Ζ πρὸς τὸ ΖΕ.
3.4
Γεγονέτω γὰρ ὡς τὸ ΓΒ πρὸς τὸ ΒΑ, οὕτως τὸ ΖΕ πρὸς τὸ ΖΘ. ἀνάπαλιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ, οὕτως τὸ ΘΖ πρὸς τὸ ΖΕ. Μείζονα δὲ λόγον ἔχει τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ ἤπερ τὸ △Ε πρὸς ΕΖ καὶ τὸ ΘΖ ἄρα πρὸς ΖΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ △Ε πρὸς ΕΖ. Μεῖζον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΘ τοῦ Ε △ καὶ ὅλον τὸ ΘΕ τοῦ △Ζ, καὶ διὰ τοῦτο τὸ ΘΕ πρὸς ΕΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ △Ζ πρὸς ΖΕ. Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ΘΕ πρὸς ΕΖ, τὸ ΑΓ πρὸς ΓΒ διὰ τὸ συνθέντι καὶ τὸ ΑΓ ἄρα πρὸς ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ △Ζ πρὸς ΕΖ. Ἀλλὰ δὴ τὸ ΑΓ πρὸς ΓΒ μείζονα λόγον ἐχέτω ἤπερ τὸ πρὸς ΖΕ. Λέγω ὅτι καὶ διελόντι τὸ ΑΒ πρὸς ΒΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ △Ε πρὸς ΕΖ.
3.5
Πάλιν γὰρ ὁμοίως, ἐὰν ποιήσωμεν ὡς τὸ ΒΓ πρὸς ΓΑ, οὕτως τὸ ΖΕ πρὸς ΕΘ, ἔσται τὸ ΘΕ μεῖζον τοῦ △Ζ. Καὶ κοινοῦ ἀφαιρουμένου τοῦ ΕΖ ἔσται μεῖζον τὸ ΘΖ τοῦ △Ε, καὶ διὰ τοῦτο τὸ ΘΖ πρὸς ΖΕ, τουτέστι τὸ ΑΒ πρὸς ΒΓ διὰ τὸ διελόντι, μείζονα λόγον ἕξει ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς ΕΖ.
3.6
Φανερὸν δὲ διὰ τῶν ὁμοίων ὅτι, κἂν τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ ἤπερ τὸ △Ε πρὸς ΕΖ, καὶ συνθέντι καὶ πάλιν διελόντι ὁ αὐτὸς λόγος ἔσται.
3.7
Ἐκ δὲ τῶν αὐτῶν καὶ ὁ τοῦ ἀναστρέψαντι λόχος ἐμφανής ἐστιν. Ἐχέτω γὰρ τὸ ΑΓ πρὸς ΒΓ μείζονα λόγον ἤπερ τὸ △Ζ πρὸς ΖΕ. Λέγω ὅτι καὶ ἀναστρέψαντι τὸ ΓΑ πρὸς ΑΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Ζ △ πρὸς △Ε.
3.8
Ἐπεὶ γὸρ τὸ ΑΓ πρὸς ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ △Ζ πρὸς ΖΕ, καὶ διελόντι τὸ ΑΒ πρὸς ΒΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ △Ε πρὸς ΕΖ, ἀνάπαλιν τὸ ΒΓ πρὸς ΒΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΖΕ πρὸς Ε △, καὶ συνθέντι τὸ ΓΑ πρὸς ΑΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Ζ △πρὸς △Ε.
4.1
Καὶ ἀπὸ τοῦ τῇ Θ ἴση κατήχθω ἡ ΚΜ Δυνατὸν γὰρ τοῦτο προσεκβληθείσης τῆς ΚΛ ὡς ἐπὶ τὸ Χ καὶ τεθείσης τῇ Θ ἴσης τῆς καὶ κέντρῳ τῷ Κ, διαστήματι δὲ τῷ ΚΧ, κύκλου γραφέντος ὡς τοῦ ΧΜΝ. ἔσται γὰρ ἡ ΚΜ ἴση τῇ ΚΧ, τουτέστι τῇ Θ.
4.2
Ἡ ἄρα ΝΓ πολυγώνου ἐστὶ ἰσοπλεύρου καὶ ἀρτιοπλεύρου πλευρά Τῆς γὰρ μιᾶς ὀρθῆς ἐπὶ τεταρτημορίου βεβηκυίας καὶ τῆς τομῆς κατὰ ἀρτίαν διαίρεσιν ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γινομένης δῆλον ὅτι καὶ ἡ τοῦ τεταρτημορίου περιφέρεια εἰς ἀρτιακισαρτίους τὸν ἀριθμὸν ἴσας διαιρεθήσεται περιφερείας ὥστε καὶ ἡ ὑποτείνουσα εὐθεῖα μίαν τῶν περιφερειῶν πολυγώνου ἐστὶν ἰσοπλεύρου καὶ ἀρτιοπλεύρου πλευρά.
4.3
Ὥστε καὶ ἡ ΟΠ πολυγώνου ἐστὶν ἰσοπλεύρου πλευρά | Ἐὰν γὰρ τῇ ὑπὸ ΞΗΝ γωνίᾳ ἴσην ποιήσαντες τὴν ὑπὸ ΠΗ △ ἀπὸ τοῦ Π ἐπὶ τὸ ἐπιζεύξωμεν καὶ προσεκβάλωμεν ἄχρι τῆς ΗΘ τῆς μετὰ Η △ γωνίαν περιεχούσης ἴσην τῇ ὑπὸ ΠΗ △, ἔσται ἴση ἡ ΠΘ τῇ ΠΟ καὶ ἐφαπτομένη τοῦ κύκλου. Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΞΗ ἴση ἐστὶ τῇ Η △, κοινὴ δὲ ἡ ΗΠ, καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσν, καὶ βάσις ἄρα ἡ ΞΠ τῷ Π △ ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΠΞΗ ὀρθὴ οὖσα τῇ ὑπὸ Π △Η· ὥστε ἐφάπτεται ἡ △Π. Ἐπεὶ οὖν αἱ πρὸς τῷ △ ὀρθαί εἰσιν, εἰσὶν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΠΗ △, △ΗΘ ἴσαι, καὶ ἡ πρὸς ταῖς ἴσαις κοινὴ ἡ △Η, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ Π △ τῇ Θ △. Ἀλλ᾿ ἡ ΞΠ τῇ Π △ ἐδείχθη ἴση· καὶ ἡ ΘΠ ἄρα τῇ ΠΟ ἐστὶν ἴση καὶ πάσαις ταῖς ὁμοίως ἐφαπτομέναις. Ὥστε ἡ ΘΠ πολυγώνου ἐστὶν ἰσοπλεύρου καὶ ἀρτιοπλεύρου πλευρὰ τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγραφομένου.
4.4
Ὅτι δὲ καὶ ὁμοίου τῷ ἐγγραφομένῳ αὐτόθεν δῆλον. Ἴσης γὰρ οὔσης τῆς μὲν ΟΗ τῇ ΗΠ, τῆς δὲ ΓΗ τῇ ΗΝ, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΟΠ τῇ ΓΝ· διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ΠΘ τῇ ΝΚ. ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΓΝΚ τῇ ὑπὸ ΟΠΘ ἴση ἐστί. Καὶ διὰ τοῦτο ὅμοιόν ἐστι τὸ περιγεγραμμένον τῷ ἐγγεγραμμένῳ.
4.5
Ἡ ἄρα ΜΚ πρὸς ΚΛ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΗ πρὸς ΗΤ Μείζονος γὰρ οὔσης τῆς πρὸς τῷ Κ γωνίας τῆς ὑπὸ ΓΗΤ, ἐὰν τῇ ὑπὸ ΓΗΤ ἴσην συστησώμεθα τὴν ὑπὸ ΛΚΡ νοῦ Ρ μεταξὺ τῶν Λ, Μ νοουμένου, τὸ ΛΚΡ τρίγωνον τῷ ΓΗΤ ὅμοιόν ἐστιν, καί ἐστιν ὡς ἡ ΡΚ πρὸς ΚΛ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΤ· ὥστε καὶ ἡ ΜΚ πρὸς ΚΛ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΗ πρὸς ΗΤ.
5.1
Διὰ δὴ τοῦτο ἔλασσόν ἐστι τὸ περιγραφόμενον τοῦ συναμφοτέρου | Ἐπεὶ γὰρ τὸ περιγραφόμενον πρὸς τὸ ἐγγραφόμενον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ συναμφότερον πρὸς τὸν κύκλον, πολλῷ ἄρα τὸ περιγραφόμενον πρὸς τὸν κύκλον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ συναμφότερον πρὸς τὸν κύκλον ὥστε τὸ περιγραφόμενον ἔλασσόν ἐστι τοῦ συναμφοτέρου.
5.2
Καὶ κοινοῦ ἀφαιρουμένου τοῦ κύκλου λοιπὰ τὰ περιλείμματα ἐλάσσονά ἐστι τοῦ Β χωρίου.
6.1
Αἱ ἄρα ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὰ Α, Β, Γ ἐπιζευγνύμεναι κἀθετοί εἰσι ἐπʼ αὐτάς Νενοήσθω γὰρ χωρὶς ὁ κῶνος, καὶ ἔστω κορυφὴ μὲν αὐτοῦ τὸ Η, κέντρον δὲ τῆς βάσεως αὐτοῦ τὸ Θ, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Α ἐπεζεύχθω ἡ ΘΑ, ἀπὸ δὲ τοῦ Η ἡ ΗΑ. Λὲγω ὅτι ἡ ΗΑ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν △E.
6.2
Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΗΘ κάθετός ἐστιν πρὸς τὸ τοῦ κύκλου ἐπίπεδον, καὶ πάντα τὰ διʼ αὐτῆς ἐπίπεδα ὥστε καὶ τὸ ΗΘΑ τρίγωνον ὀρθόν ἐστι πρὸς τὴν βάσιν. Καὶ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων τῇ ΘΑ πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων ἡ △Ε ἡ ἄρα △Ε τῷ ΗΘΑ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν ὥστε καὶ πρὸς τὴν ΗΑ. Ὁμοίως δὲ δειχθήσονται καὶ αἱ ἐπὶ τὰ Γ, Β ἐπιζευγνύμεναι ἀπὸ τῆς κορυφῆς κάθετοι οὖσαι ἐπὶ τὰς △Ζ, ΕΖ.
6.3
Ἐπιστῆσαι δὲ χρὴ ὅτι ἐπὶ μὲν τοῦ πρὸ τούτου καλῶς προσέκειτο τὸ δεῖν πάντως τὴν ἐγγραφομένην πυραμίδα ἰσόπλευρον ἔχειν τὴν βάσιν οὐκ ἄλλως γὰρ αἱ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὰς τῆς βάσεως πλευρὰς ἴσαι ἡδύναντο εἶναι· ἐπὶ δὲ τοῦ προκειμένου οὐ προσέθηκεν τὸ εἶναι ἰσόπλευρον τὴν βάσιν διὰ τὸ δύνασθαι, κἂν ὁποία τις ᾖ, τὸ αὐτὸ ἀκολουθεῖν.
7.1
Μείζονα ἄρα ἐστὶν τὰ ΑΒ △, Β △Γ τρίγωνα τοῦ Α △Γ τργώνου Ἐπεὶ γὰρ στερεὰ γωνία ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ △, αἱ ὑπὸ Α △Β, Β △Γ μείζους εἰσὶν τῆς ὑπὸ Α △Γ, καί, ἐὰν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτομίαν τῆς βάσεως ἐπιζεύξωμεν ὡς τὴν △Ε κάθετον γινομένην ἐπὶ τὴν ΑΓ, ἔσται ἡ ὑπὸ Α △Β μείζων τῆς ὑπὸ Α △Ε. Συνεστάτω οὖν τῇ ὑπὸ Α △Β ἴση ἡ ὑπὸ Α △Ζ, καὶ τεθείσης τῆς △Ζ ἴσης τῇ △Γ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ. Ἐπεὶ οὖν δύο δυσὶν ἴσαι, ἀλλὰ καὶ γωνία γωνίᾳ, καὶ τὸ ΑΒ △ τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ Α △Ζ τριγώνῳ μείζονι ὄντι τοῦ Α △Ε καὶ τὸ ΑΒ △ ἄρα τρίγωνον τοῦ Α △Ε μεῖζόν ἐστιν. Ὁμοίως δὲ καὶ τὸ △ΒΓ τοῦ △ΕΓ δύο ἄρα τὰ Α △Β, △ΒΓ τοῦ Α △Γ μείζονά ἐστιν.
8.1
Ἤχθω γὰρ ἡ ΗΖ ἐφαπτομένη τοῦ κύκλου καὶ παράλληλος οὖσα τῇ ΑΓ δίχα τμηθείσης τῆς ΑΒΓ περιφερείας κατὰ τὸ Β Ὅτι γὰρ ἡ οὕτως ἀγομένη παράλληλος γίνεται τῇ ΑΓ, δειχθήσεται ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ Θ ἐπιζευχθεισῶν τῶν ΘΑ, Θ △, ΘΓ. Ἐπεὸ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ Α △ τῇ △Γ, καὶ κοινὴ ἡ △Θ, δύο δυσὶν ἴσαι. Ἀλλὰ καὶ βάσις ἡ ΑΘ βάσει τῇ ΘΓ· καὶ γωνία ἄρα γωνίᾳ ἐστὶν ἴση. Εἰσὶν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΗΒ △, △ΒΖ γωνίαι ὀρθαί· ἀπὸ γὰρ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπέζευκται ἡ ΘΒ· ὥστε καὶ λοιπὴ ἡ ὑπὸ △ΗΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ △ΖΒ ἐστὶν ἴση. Καὶ διὰ τοῦτο ἡ Η △ τῇ △Ζ ἴση ἐστίν ὥστε παράλληλός ἐστιν ἡ ΖΗ τῇ ΑΓ.
8.2
Περιγράφοντες δὴ πολύγωνα περὶ τὸ τμῆμα ὁμοίως δίχα τεμνομένων τῶν περιλειπομένων περιφερειῶν καὶ ἀγομένων ἐφαπτομένων λείψομέν τινα ἀποτμήματα ἐλάσσονα τοῦ Θ χωρίου | Ἐπὶ μὲν τῶν ἐγγραφομένων δὲδεικται ἐν τῇ Στοιχειώσει ὅτι τὰ ἐγγραφόμενα τρίγωνα εἰς τὰ τμήματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῶν καθ᾿ ἑαυτὰ τμημάτων, καὶ διὰ τοῦτο δυνατὸν ἦν τέμνοντας τὰς περιφερείας δίχα καὶ ἐπιζευγνύντας εὐθείας καταλείπειν τινὰ ἀποτμήματα ἐλάσσονα τοῦ δοθέντος χωρίου ἐπὶ δὲ τῆς περιγραφῆς οὐκέτι τοῦτο δέδεικται ἐν τῇ Στοιχειώσει.
8.3
Ἐπεὶ οὖν ἐν τῷ προκειμένῳ τοῦτό φησιν, ὃ καὶ ἔστιν αὐτὸ συλλογίσασθαι διὰ τοῦ Ϛ΄ θεωρήματος, δεικτέον ὅτι ἡ ἐφαπτομένη ἀφαιρεῖ τρίγωνον μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθ᾿ ἑαυτὸ περιλείμματος, οἷον ὡς ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ὅτι τὸ Η △Ζ τρίγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ περιλείμματος τοῦ περιεχομένου ὑπὸ τῶν Α △, △Γ καὶ τῆς ΑΒΓ περιφερείας.
8.4
Τῶν γὰρ αὐτῶν ἐπεζευγμένων, ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ △ΒΖ, μείζων ἐστὶν ἡ △Ζ τῆς ΒΖ. δὲ ΖΒ τῇ ΖΓ ἴση· ἐφάπτεται γὰρ ἑκατέρα αὐτῶν καὶ ἡ △Ζ ἄρα τῆς ΖΓ μείζων. Ὥστε καὶ τὸ △ΒΖ τρίγωνον μεῖζόν ἐστι τοῦ ΒΖΓ τριγώνου ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ ὕψος εἰσίν· πολλῷ ἄρα τοῦ ΒΖΓ περιλείμματος μεῖζόν ἐστιν. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ △ΒΗ τοῦ ΒΗΑ μεῖζον· ὅλον ἄρα τὸ △ΖΗ μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ Α △Γ περιλείμματος.
9.1
Νοείσθω δὴ εἰς τὸν Β κύκλον περιγεγραμμένον καὶ ἐγγεγραμμένον καὶ περὶ τὸν Α κύκλον περιγεγραμμένον ὅμοιον τῷ περὶ τὸν Β περγεγραμμένῳ | Ὅπως μὲν οὖν ἔστιν εἰς τὸν δοθέντα κύκλον πολύγωνον ἐνγγράψαι ὅμοιον τῷ ἐν ἑτέρῳ ἐγγεγραμμένῳ δῆλον, εἴρηται δὲ καὶ Πάππῳ εἰς τὸ ὑπόμνημα τῶν Στοιχείων περὶ δὲ τὸν δοθέντα κύκλον πολύγωνον περιγράψαι ὅμοιον τῷ περὶ ἕτερον κύκλον περιγεγραμμένῳ οὐκέτι ὁμοίως ἔχομεν εἰρημένον· ὅπερ νῦν λεκτέον.
9.2
Τῷ γὰρ εἰς τὸν Β κύκλον ἐγγεγραμμένῳ ὅμοιον εἰς τὸν Α ἐγγεγράφθω καὶ περὶ αὐτὸν τὸν Α ὅμοιον τῷ εἰς αὐτόν, ὡς ἐν τῷ γ΄ θεωρήματι· καὶ ἔσται ὅμοιον καὶ τῷ περὶ τὸν Β περιγεγραμμένῳ.
9.3
Καὶ ἐπεὶ ὅμοιά ἐστι τὰ εὐθύγραμμα τὰ περὶ τοὺς Α, Β κύκλους περιγεγραμμένα, τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον, ὅνπερ καὶ αἱ ἐκ τῶν κέντρων δυνάμει | Τὸ τοιοῦτον ἐπὶ μὲν τῶν ἐγγεγραμμένων δέδεικται ἐν τῇ Στοιχειώσει, ἐπὶ δὲ τῶν περιγεγραμμένων οὐκέτι· δειχθήσεται δὲ οὕτως.
9.4
Νενοήσθωσαν γὰρ χωρὶς τὰ περιγεγραμμένα καὶ ἐγγεγραμμένα εὐθύχραμμα καὶ ἀπὸ τῶν κέντρων τῶν κύκλων ἐπεζευγμέναι αἱ ΚΕ, ΚΜ, ΛΘ, ΛΝ· φανερὸν δὴ ὅτι αἱ ΚΕ, ΛΘ ἐκ τῶν κέντρων εἰσὶ τῶν περὶ τὰ περιγεγραμμένα πολύγωνα κύκλων καὶ πρὸς ἀλλήλας εἰσὶ δυνάμει ὡς τὰ περιγεγραμμένα πολύγωνα. Καὶ ἐπεὶ αἱ ὑπὸ ΚΕΜ, ΛΘΝ ἡμίσειαί εἰσι τῶν ἐν τοῖς πολυγώνοις γωνιῶν, ὁμοίων ὄντων τῶν πολυγώνων δῆλον ὅτι καὶ αὐταὶ ἴσαι εἰσίν. Ἀλλὰ καὶ αἱ πρὸς τοῖς Μ, Ν ὀρθαί· ἰσογώνια ἄρα τὰ ΚΕΜ, ΛΘΝ τρίγωνα, καὶ ἔσται ὡς ἡ ΚΕ πρὸς ΛΘ, ἡ KM πρὸς ΛΝ· ὥστε καὶ τὰ ἀπʼ αὐτῶν. Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΚΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΛ, οὕτως τὰ περιγεγραμμένα πρὸς ἄλληλα καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΚΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΝ, οὕτως τὰ περιγεγραμμένα πρὸς ἄλληλα.
9.5
Τὸν αὐτὸν ἄρα λόγον ἔχει τὸ ΚΤ △ τρίγωνον πρὸς τὸ εὐθύγραμμον τὸ περὶ τὸν Β κύκλον, ὅνπερ τὸ ΚΤ △ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΡΛ τρίγωνον | Ἐπεὶ γὰρ τὰ περὶ τοὺς Α, Β κύκλους εὐθύγραμμα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ ἐκ τῶν κέντρων δυνάμει, τουτέστιν ἡ Τ △ πρὸς Η δυνάμει, τουτέστιν ἡ Τ △ πρὸς ΡΖ μήκει, τουτέστιν ὡς τὸ ΚΤ △ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΡΛ, ἴσον δὲ τὸ ΚΤ △ τῷ περὶ τὸν Α κύκλον περιγεγραμμένῳ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΚΤ △ πρὸς τὸ περὶ τὸν Β κύκλον περιγεγραμμένον, οὕτως τὸ αὐτὸ ΚΤ △ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΡΛ τρίγωνον.
9.6
Ἐναλλὰξ ἄρα ἐλάσσονα λόγον ἔχει τὸ πρίσμα πρὸς τὸν κύλινδρον ἤπερ τὸ ἐγγεγραμμένον εἰς τὸν Β κύκλον πυλύγωνον πρὸς τὸν Β κύκλον· ὅπερ ἄτοπον | Ἐὰν ποιήσωμεν ὡς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ πρίσματος πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ κυλίνδρου, οὕτως τὸ ἐγγεγραμμένον εἰς τὸν Β κύκλον πρὸς ἄλλο τι, ἔσται πρὸς ἔλασσον τοῦ Β κύκλου, πρὸς μείζονα λόγον ἔχει τὸ ἐγγεγραμμένον ἤπερ πρὸς τὸν κύκλον, τουτέστιν ἡ ἐπιφάνεια τοῦ πρίσματος πρὸς τὴν τοῦ κυλίνδρου ἐπιφάνειαν μείζονα λόχον ἔχει ἤπερ τὸ ἐγγεγραμμένον πρὸς τὸν κύκλον. Ἐδείχθη δὲ ἔχον καὶ ἐλάσσονα ὅπερ ἄτοπον.
10.1
Ἡ δὲ Γ πρὸς τὴν μείζονα λόγον ἔχει ἢ τὸ πολύγωνον τὸ ἐν τῷ Α κύκλῳ ἐγγεγραμμένον πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τῆς πυραμίδος τῆς ἐγγεγραμμένης εἰς τὸν κῶνον | Ἡ γὰρ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου πρὸς τὴν πλευρὰν τοῦ κώνου μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου κάθετος ἀγομένη ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ πολυγώνου πρὸς τὴν ἐπὶ τὴν πλευρὰν τοῦ πολυγώνου κάθετον ἀγομένην ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου.
10.2
Νενοήσθω γὰρ χωρὶς ἡ ἐν τῷ ῥητῷ καταγραφὴ καὶ εἰς τὸν Α κύκλον ἐγγεγραμμένον πολύγωνον τὸ ΖΘΚ, καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου τοῦ Α ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ πολυγώνου τὴν ΘΚ κάθετος ἤχθω ἡ ΑΗ· φανερὸν δὴ ὅτι τὸ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ πολυγώνου καὶ τῆς ΑΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ πολυγώνου. Νενοήσθω δὴ καὶ τοῦ κώνου κορυφὴ τὸ Λ σημεῖον καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὸ Η ἐπεζευγμένη ἡ ΛΗ, ἥτις κάθετος γίνεται ἐπὶ τὴν ΘΚ, ὡς ἐδείχθη ἐν τῷ λήμματι τοῦ ή θεωρήματος. Ἐπεὶ οὖν ἰσόπλευρόν ἐστι τὸ ἐγγεγραμμένον πολύγωνον, ἔστι δὲ καὶ ἰσοσκελὴς ὁ κῶνος, αἱ ἀπὸ τοῦ Λ ἐφ᾿ ἑκάστην τῶν πλευρῶν τοῦ πολυγώνου ἀγόμεναι κάθετοι ἴσαι εἰσὶ τῇ ΛΗ· ἑκάστη γὰρ αὐτῶν δύναται τὸ ἀπὸ τοῦ ἄξονος καὶ τῆς ἴσης τῇ ΑΗ. Διὰ δὲ τοῦτο καὶ τὸ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ πολυγώνου καὶ τῆς ΛΗ διπλάσιόν ἐστι τῆς ἐπιφανείας τῆς πυραμίδος τὸ γὰρ ὑφ᾿ ἑκάστης πλευρᾶς καὶ τῆς ἀπὸ τῆς κορυφῆς καθέτου ἐπ᾿ αὐτὴν ἀγομένης ἴσης τῇ ΛΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ καθ᾿ ἑαυτὴν τριγώνου. Ὥστε ἐστὶν ὡς ἡ ΑΗ πρὸς ΗΛ, τὸ πολύγωνον πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τῆς πυραμίδος κοινοῦ ὕψους τῆς περιμέτρου τοῦ πολυγώνου λαμβανομένης. Ἀχθείσης δὴ τῆς ΗΝ παρὰ τὴν ΜΛ ἔσται ὡς ἡ ΑΜ πρὸς MΛ, ἡ ΑΗ πρὸς ΗΝ. δὲ ΑΗ πρὸς ΗΝ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΗΛ μείζων γὰρ ἡ ΛΗ τῆς ΗΝ· καὶ ἡ ΑΜ ἄρα πρὸς ΜΛ, τουτέστιν ἡ πρὸς τὴν △, μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΗ πρὸς ΗΛ, τουτέστιν ἤπερ τὸ πολύγωνον πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τῆς πυραμίδος.
11.1
Καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β △Ζ καὶ τῷ ὑπὸ τῆς Α △ καὶ συναμφοτέρου τῆς △Ζ, ΑΗ διὰ τὸ παράλληλον εἶναι τὴν △Ζ τῇ ΑΗ | Ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ △Ζ τῇ ΑΗ, ἔστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ, ἡ Β△ πρὸς △Ζ· καὶ διὰ τοῦτο τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων τῶν ΒΑ, △Ζ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων τῶν Β△, ΑΗ. Ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, △Ζ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β△, △Ζ καὶ τῷ ὑπὸ τῶν Α△, △Ζ διὰ τὸ πρῶτον θεώρημα τοῦ β΄ βιβλίου τῆς Στοιχειώσεως· καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Β∠, ΑΗ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ Β△, △Ζ καὶ τῷ ὑπὸ Α△, △Ζ. Κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ △Α, ΑΗ· τὸ ἄρα ὑπὸ Β△, ΑΗ μετὰ τοῦ ὑπὸ △Α, ΑΗ, ὅπερ ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΑ, ΑΗ, ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ Β∠, ∠Ζ καὶ τῷ ὑπὸ Α△, △Ζ καὶ ἔτι τῷ ὑπὸ Α△, ΑΗ.
12.1
Tὸ δὲ πλῇθος τῶν πλευρῶν τοῦ πολυγώνου μετρείσθω ὑπὸ τετράδος | Ὑπὸ τετράδος βούλεται μετρεῖσθαι τὰς πλευρὰς τοῦ πολυγώνου διὰ τὸ τοῦ κύκλου κινουμένου περὶ τὴν ΑΓ διάμετρον πάσας τὰς πλευρὰς κατὰ κωνικῶν φέρεσθαι ἐπιφανειῶν χρησίμου ἐσομένου αὐτῷ ἐν τοῖς ἑξῆς τοῦ τοιούτου. Μὴ γὰρ ὑπὸ τετράδος μετρουμένων τῶν πλευρῶν τοῦ πολυγώνου, κἂν ἀρτιόπλευρον ᾖ, οὐ πάσας δυνατὸν κατὰ κωνικῶν φέρεσθαι ἐπιφανειῶν, ὡς κατανοῆσαι ἔνεστιν ἐπὶ τῶν τοῦ ἑξαφώνου πλευρῶν· δύο γὰρ τὰς ἀπεναντίον αὐτοῦ παραλλήλους πλευρὰς κατὰ κυλινδρικῆς φέρεσθαι ἐπιφανείας συμβαίνει. Ὅπερ, ὡς εἴρηται, οὐ χρήσιμον αὐτῷ πρὸς τὰ ἑξῆς.
13.1
Ἡ δὲ ΚΘ ἴση ἐστὶ τῇ διαμέτρῳ τοῦ ΑΒΓ△ κύκλου | Ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ Χ ἐπιζεύξωμεν ἐπὶ τὸ σημεῖον, καθ᾿ ὃ ἐφάπτεται ἡ ΚΖ τοῦ ΑΒΓ△ κύκλου, νοούμενον τὸ Μ, ὁμοίως δὲ καὶ τὴν ΧΚ, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΧΚ τῇ ΧΖ, εἰσὶν δὲ καὶ ὀρθαὶ αἱ πρὸς τῷ Μ, ἴση γίνεται καὶ ἡ ΚΜ τῇ ΜΖ. Ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΖΧ τῇ ΧΘ ἴση· παράλληλος ἄρα ἡ ΧΜ τῇ ΚΘ, καὶ διὰ τοῦτο ἔσται ὡς ἡ ΘΖ πρὸς ΖΧ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς ΧΜ. Διπλῆ δὲ ἡ ΘΖ τῆς ΧΖ· διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΚΘ τῆς ΧΜ ἐκ τοῦ κέντρου οὔσης τοῦ ΑΒΓ△ κύκλου.
14.1
Ἔχει δὲ καὶ ἡ διάμετρος τοῦ Μ κύκλου πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ Ν λόγον, ὃν ἔχει ἡ ΕΛ πρὸς ΑΚ | Ἐὰν γὰρ ἐπιζευχθῶσιν αἱ ΗΛ, ΓΚ, ὀρθῶν γινομένων τῶν πρὸς τοῖς Κ, Λ καὶ παραλλήλου τῆς ΑΚ τῇ ΛΕ ἰσογώνιον γίνεται τὸ ΗΛΕ τρίγωνον τῷ ΓΚΑ τριγώνῳ, καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν ὡς ἡ ΗΛ πρὸς ΛΕ, οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς ΚΑ. Ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΗΛ πρὸς ΛΕ, οὕτως πᾶσαι αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰς τοῦ περιγεγραμμένου γωνίας πρὸς τὴν τοῦ περὶ τὸ περιγεγραμμένον κύκλου διάμετρον, ὡς δὲ ἡ ΓΚ πρὸς ΚΑ, οὕτως πᾶσαι αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰς τοῦ ἐγγεγραμμένου γωνίας πρὸς τὴν τοῦ ΑΒΓ△ κύκλου διάμετρον· ὡς ἄρα πᾶσαι αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰς τοῦ περιγεραμμένου γωνίας πρὸς τὴν τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου διάμετρον, οὕτως πᾶσαι αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰς τοῦ ἐγγεγραμμένου γωνίας πρὸς τὴν τοῦ ΑΒΓ△ κύκλου διάμετρον. Ὡς δὲ ἡ διάμετρος πρὸς τὴν πλευράν, οὕτως ἡ διάμετρος πρὸς τὴν πλευράν, ἐπεὶ καὶ ὡς ἡ ΗΕ πρὸς ΕΛ, οὕτως ἡ ΓΑ πρὸς ΑΚ· καὶ δι᾿ ἴσου ἄρα ὡς πᾶσαι αἱ ἐπιζευγνύουσαι πρὸς τὴν ΕΛ, οὕτως πᾶσαι αἱ ἐπιζευγνύουσαι πρὸς τὴν ΑΚ. Ἀλλ᾿ ὡς πᾶσαι πρὸς τὴν πλευρὰν τὴν ΕΛ, οὕτως τὸ ὑπὸ πασῶν καὶ τῆς ΕΛ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Μ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΛ τῆς ΕΛ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένης, ὡς δὲ πᾶσαι πρὸς τὴν ΑΚ, οὕτως τὸ ὑπὸ πασῶν καὶ τῆς ΑΚ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν, πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΚ κοινοῦ ὕψους πάλιν λαμβανομένης τῆς ΑΚ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Μ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΛ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΚ. Καὶ ὡς ἄρα αὐτὴ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Μ πρὸς τὴν ΕΛ, οὕτως ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν πρὸς τὴν ΑΚ. Ἐναλλὰξ ὡς ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Μ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν, οὕτως ἡ ΕΛ πρὸς ΑΚ, καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ διπλάσια, ὡς ἡ διάμετρος τοῦ Μ πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ Ν, ἡ ΕΛ πρὸς ΑΚ.
15.1
Αἱ δὲ Ι, Θ εἰλημμέναι, ὥστε τῷ ἴσῳ ἀλλήλων ὑπερέχειν τὴν Κ τῆς | καὶ τὴν | τῆς Θ καὶ τὴν Θ τῆς Η | Τὸ προκείμενόν ἐστι δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν ἐν ἀριθμητικῇ ἀναλογίᾳ, ὃ ταὐτόν ἐστι τῷ τῷ ἴσῳ ἀλλήλων ὑπερέχειν. Ποιητέον δὲ τοῦτο οὕτως· ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΚ ἄνισοι, καὶ ἀφαιρεθείσης ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσης τῇ ΓΚ τῆς Β△ ἡ λοιπὴ ἡ Α△ τετμήσθω τρίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ, καὶ τῇ μὲν ΕΒ ἴση κείσθω ἡ Η, τῇ δὲ ΖΒ ἴση ἡ Θ. Ἔσονται δὴ αἱ Θ, Η ποιοῦσαι τὸ προκείμενον.
15.2
Λὲγω δὴ ὅτι καὶ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΚ μείζονα ἢ τριπλασίονα λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΑB πρὸς τὴν Η.
15.3
Γεγονέτω γὰρ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Η, οὕτως ἡ Η πρὸς ἄλλην τινὰ τὴν Λ. Καὶ ἐπεὶ ᾧ μέρει ἑαυτῆς ἡ ΑΒ ὑπερέχει τῆς Η, τούτῳ καὶ ἡ Η ἑαυτῆς ὑπερέχει τῆς Λ, τὸ δὲ αὐτὸ μέρος τῆς ΑΒ μεῖζόν ἐστι τοῦ μέρους τῆς Η, μείζονι ἄρα ὑπερέχει ἡ ΑΒ τῆς Η ἤπερ ἡ Η τῆς Λ. Τῷ δὲ αὐτῷ ὑπερέχει ἡ ΑΒ τῆς Η καὶ ἡ Η τῆς Θ· μείζονι ἄρα ὑπερέχει ἡ Η τῆς Θ ἤπερ ἡ Η τῆς Λ· ὥστε μείζων ἡ Λ τῆς Θ. Ἐὰν δὴ πάλιν ποιήσωμεν ὡς τὴν Η πρὸς τὴν Λ, οὕτως τὴν Λ πρὸς Μ, πολλῷ μείζων ἔσται τῆς ΓΚ. Καὶ ἐπεὶ τέσσαρες εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, Η, Λ, Μ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Μ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς Η· ὥστε ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΚ μείζονα ἢ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν Η.
16.1
Ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΕΘ καὶ τῶν ΕΖ, Γ△, ΚΑ δέδεικται ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΕΛ, ΚΘ | Ἐν γὰρ τῷ δευτέρῳ καὶ εἰκοστῷ θεωρήματι δέδεικται ὅτι αἱ ΕΖ, Γ△, ΚΑ πρὸς τὴν ΘΚ τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον, ὃν ἡ ΛΕ πρὸς ΕΘ· ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων.
16.2
Τὸ δὲ ὑπὸ ΕΛ, ΚΘ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΘΑ | Καὶ γὰρ τοῦ ὑπὸ ΛΘ, ΘΚ ἴσου ὄντος τοῦ ἀπὸ ΘA, ὥς ἐστι δῆλον ἐπιζευγνυμένης τῆς ΑΛ καὶ διὰ τοῦτο ὁμοίου γινομένου τοῦ ΘΑΚ τριγώνου τῷ ΘΑΛ· ἔσται γὰρ ὡς ἡ ΛΘ πρὸς ΘΑ, ἡ ΑΘ πρὸς ΟΚ, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς μέσης.
17.1
Ἕξει δὴ τὸ αὐτὸ κέντρον τῷ ΑΒΓ κύκλῳ | Ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ △ ἐπιζευχθῶσιν εὐθεῖαι ἐπὶ τὰ Θ, Ε, Λ, ἴσαι ἔσονται διὰ τὸ καὶ τὰς ἀπὸ τοῦ △ ἐπὶ τὰς ἀφὰς ἐπιζευγνυμένας εὐθείας καθέτους εἶναι ἐπὶ τὰς ἐφαπτομένας, καὶ αὐτὰς δὲ τὰς ἐφαπτομένας δίχα τέμνεσθαι πρὸς τῇ ἁφῇ.
17.2
Ὅταν δὲ τοῦτο ᾖ, μείζων γίνεται ἡ ἐπιφάνεια τῆς ἐπιφανείας | Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΜΖ κατὰ κωνικῆς ἐπιφανείας φέρεται, κατὰ κολούρου κώνου ἐπιφανείας οἰσθήσεται, ᾗ ἴσος ἐστὶ κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέσον λόγον ἔχει τῆς τε ΖΜ καὶ τῆς ἡμισείας συναμφοτέρου τῆς ΖΗ καὶ τῆς ΜΝ. Ὁμοίως δὴ καὶ τῇ ὑπὸ τῆς ΜΑ γενομένῃ κολούρου κώνου ἐπιφανείᾳ ἴσος ἐστὶ κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέσον λόγον ἔχει τῆς ΜΑ καὶ τῆς ἡμισείας συναμφοτέρου τῆς ΑΒ καὶ ΜΝ. Καί ἐστιν ἡ μὲν ΖΜ μείζων τῆς ΜΑ, ἡ δὲ ΖΗ τῆς ΑΒ· μείζων ἄρα καὶ ἡ μέση τῆς μέσης· ὥστε καὶ ἡ ἐπιφάνεια τῆς ἐπιφανείας. Ἡ ἄρα ὑπὸ ΖΜ, ΝΗ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΜΑ, ΝΒ ἐπιφανείας.
18.1
Ἡ ἄρα τοῦ σχήματος τοῦ ΚΖΛ ἐπιφάνεια μείζων ἐστὶ τοῦ κύκλου | Καὶ τὰ ἑξῆς. Ἀσαφέστερον δοκεῖ συνῆχθαι τὸ εἰρημένον, λέγοις δ᾿ ἂν σαφῶς οὕτως· ἐπειδὴ ὁ Ν κύκλος ἴσος ἐστὶ τῆ ἐπιφανείᾳ τοῦ σχήματος, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν δύναται τὸ ὑπὸ ΜΘ, ΖΗ, τὸ δὲ ὑπὸ ΜΘ, ΖΗ μεῖζον τοῦ ὑπὸ Γ△, △Ξ· ἡ μὲν γὰρ ΜΘ ἴση δέδεικται τῇ Γ△, ἡ δὲ ΖΗ μείζων τῆς ∠Ξ ὁ Ν ἄρα κύκλος μείζων ἐστὶ τοῦ κύκλου, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ Γ△, △Ξ. Τὸ δὲ ὑπὸ Γ△, △Ξ ἴσον τῷ ἀπὸ ΔΑ· ὁ ἄρα Ν κύκλος, τουτέστιν ἡ ἐπιφάνεια τοῦ περιγεγραμμένου, μείζων ἐστὶ τοῦ κύκλου, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ △Α.
19.1
Ἀλλὰ τὰ εἰρημένα χωρία πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πλευρᾶς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΛ πλευρᾶς | Ἐὰν γὰρ ἐπιζευχθῇ ἡ △ΛΚ, παραλλήλου οὔσης τῆς ΕΚ τῇ ΑΛ ἐστὶν ὡς ἡ Ε△ πρὸς △Α, ἡ ΕΚ πρὸς ΑΛ. Ὡς δὲ ἡ Ε△ πρὸς △Α, ἡ ΕΖ πρὸς ΑΓ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς ΑΛ, ἡ ΕΖ πρὸς ΑΓ καὶ ἡ ἡμίσεια τῆς ΕΖ πρὸς τὴν ἡμίσειαν τῆς ΑΓ. Ὁμοίως δὴ καὶ ἐπὶ πασῶν τῶν ἐπιζευγνυουσῶν τὰς γωνίας τῶν πολυγώνων δειχθήσεται ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον πρὸς ἀλλήλας, ὃν ἡ ΕΚ πρὸς ΑΛ. Καὶ ὡς ἄρα ἓν, πρὸς ἕν, οὕτως ἅπαντα πρὸς ἅπαντα· ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς ΑΛ, οὕτως πᾶσαι αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰς τοῦ περιγεγραμμένου γωνίας μετὰ τῆς ἡμισείας τῆς βάσεως τοῦ μείζονος τμήματος πρὸς πάσας τὰς ἐπιζευγνυούσας μετὰ τῆς ἡμισείας τῆς βάσεως τοῦ ἐλάσσονος τμήματος. Ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΛ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῆς ΕΚ καὶ πασῶν πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς ΑΛ καὶ πασῶν· τὰ γὰρ ὅμοια εὐθύγραμμα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν, καὶ τοῦ μὲν τῆς ΕΚ πρὸς ΑΛ λόγου διπλασίων ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΛ, τῶν δὲ ἐπιζευγνυουσῶν τὰς τοῦ μείζονος πρὸς τὰς ἐπιζευγνυούσας τὰς τοῦ ἐλάττονος διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ ὑπὸ τῆς ΕΚ καὶ πασῶν πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς ΑΛ καὶ πασῶν· ὅμοια γὰρ καὶ ταῦτα διὰ τὸ τὰς πλευρὰς ἀνάλογον ἔχειν.
19.2
Καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἐλάσσονος σφαίρας, οὕτως ἡ ΑΛ πρὸς τὴν ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ΑΛ κάθετον ἠγμένην | Ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπιζεύξωμεν εὐθεῖαν, ἔσται ἡ ἐπιζευχθεῖσα κάθετος ἐπʼ ἀμφοτέρας τὰς ΕΚ, ΑΛ, καὶ ἔσται ὡς ἡ Ε△ πρὸς △Α, τουτέστιν ἡ ΕΚ πρὸς ΑΛ, ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπιζευχθεῖσα, τουτέστιν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἐλάσσονος σφαίρας πρὸς τὴν ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ΑΛ κάθετον.
19.3
Ἐδείχθη δὲ ὡς ἡ ΕΚ πρὸς ΑΛ, οὕτως ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Μ κύκλου πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν κύκλου | Ἐπεὶ δέδεικται ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ πολύγωνον πρὸς τὸ πολύγωνον, οὕτως ὁ Μ κύκλος πρὸς τὸν Ν, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Μ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν.
20.1
Ἑκάτερος γὰρ τῶν λόγων διπλάσιός ἐστι τοῦ ὃν ἔχει ἡ τοῦ περιγεγραμμένου πολυγώνου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ ἐγγεγραμμένου | Ἐδείχθη γὰρ ἐν τῷ πρὸ τούτου ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου τοῦ ἴσου τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ περιγεγραμμένου πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου τοῦ ἴσου τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ἐγγεγραμμένου, οὕτως ἡ πλευρὰ τοῦ περιγεγραμμένου πολυγώνου πρὸς τὴν πλευρὰν τοῦ ἐγγεγραμμένου. Οἱ δὲ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους ἐν διπλασίονι λόγῳ εἰσὶν τῶν ἐκ τῶν κέντρων καὶ ἡ ἐπιφάνεια ἄρα πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸς τὴν πλευράν.
21.1
Τὸ ἄρα περιγεγραμμένον στερεὸν πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ὁ στερεὸς τομεὺς πρὸς τὸν Θ κῶνον | Εἰ γὰρ τὸ περιγεγραμμένον στερεὸν πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐλάσσονα ἢ τριπλασίονα λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἔχει ἡ △ πρὸς Ζ, ἡ δὲ πρὸς Ε μείζονα ἢ τριπλασίονα, τὸ ἄρα περιγεγραμμένον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ △ πρὸς Ε. Ἡ δὲ △ πρὸς Ε ἤπερ ὁ τομεὺς πρὸς τὸν κῶνον· καὶ τὸ περιγεγραμμένον ἄρα πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ τομεὺς πρὸς τὸν κῶνον.
21.2
Εὐτοκίου Ἀσκαλωνίτου ὑπόμνημα εἰς τὸ πρῶτον τῶν Ἀρχιμήδους περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου ἐκδόσεως παραναγνωσθείσης τῷ Μιλησίῳ μηχανικῷ Ἰσιδώρῳ ἡμετέρῳ διδασκάλῳ.
22.1
Σαφῶς ἡμῖν τῶν ἐν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ θεωρημάτων γεγραμμένων ἀκόλουθος καὶ ἡ κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον ἐν τοῖς τοῦ δευτέρου θεωρήμασι σπουδή.
22.2
Φησὶν δὴ πρῶτον ἐν τῷ α΄ θεωρήματι·
22.3
Εἰλήφθω τοῦ δοθέντος κώνου ἢ κυλίνδρου ἡμιόλιος κύλινδρος | Τοῦτο δὲ διχῶς δυνατόν ἐστιν ποιεῖν ἤτοι τῆς βάσεως τῆς αὐτῆς σωζομένης ἐν ἀμφοτέροις ἢ τοῦ ὕψους. Καὶ ἵνα σαφέστερον γένηται τὸ λεγόμενον, νενοήσθω κῶνος ἢ κύλινδρος, οὗ βάσις μὲν ὁ Α κύκλος, ὕψος δὲ ἡ ΑΓ, καὶ δέον ἔστω αὐτοῦ ἡμιόλιον κύλινδρον εὑρεῖν.
22.4
Ὑποκείσθω δὴ πρότερον ὁ ΑΓ κύλινδρος, καὶ προσεκβεβλήσθω τὸ ΑΓ ὕψος τοῦ κυλίνδρου, καὶ κείσθω τῆς ΑΓ ἡμίσεια ἡ Γ△ ἡ ἄρα Α△ ἡμιολία ἐστὶν τῆς ΑΓ. Ἐὰν δὴ νοήσωμεν κύλινδρον βάσιν μὲν ἔχοντα τὸν Α κύκλον, ὕψος δὲ τὴν Α△ εὐθεῖαν, ἡμιόλιος ἔσται τοῦ προτεθέντος τοῦ ΑΓ· οἱ γὰρ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντες κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ὕψη.
22.5
Eἰ δὲ κῶνος εἴη ὁ ΑΓ, τμηθείσης τῆς ΑΓ δίχα ὡς κατὰ τὸ Ε ἐὰν πάλιν νοηθῇ κύλινδρος βάσιν μὲν ἔχων τὸν Α κύκλον, ὕφος δὲ τὴν ΑΕ, ἔσται ἡμιόλιος τοῦ ΑΓ κώνου ὁ γὰρ κύλινδρος ὁ βάσιν ἔχων τὸν Α κύκλον, ὕψος δὲ τὴν ΑΓ εὐθεῖαν, τοῦ μὲν ΑΓ κώνου τριπλάσιός ἐστι, τοῦ δὲ ΑΕ κυλίνδρου διπλάσιος ὥστε δῆλον ὅτι καὶ ὁ ΑΕ κύλινδρος ἡμιόλιός ἐστι τοῦ ΑΓ κώνου.
22.6
Οὕτως μὲν οὖν τῆς αὐτῆς βάσεως σωζομένης ἔν τε τῷ προτεθέντι καὶ ἐν τῷ λαμβανομένῳ γενήσεται τὸ πρόβλημα, ἕνεστι δὲ καὶ τῆς βάσεως διαφόρου τυγχανούσης, τοῦ δὲ ἄξονος τοῦ αὐτοῦ μένοντος, τὸ αὐτὸ ποιεῖν.
22.7
Ἔστω γὰρ πάλιν κῶνος ἢ κύλινδρος, οὗ βάσις ὁ ΖΗ κύκλος, ὕψος δὲ ἡ ΘΚ εὐθεῖα, οὗ δέον ἔστω ἡμιόλιον κύλινδρον εὑρεῖν ὕψος ἔχοντα ἴσον τῇ ΘΚ. Ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΖΗ διαμέτρου τοῦ κύκλου τετράγωνον τὸ ΖΛ, καὶ προσεκβληθείσης τῆς ΖΗ κείσθω αὐτῆς ἡμίσεια ἡ ΗΜ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΖΝ παραλληλόγραμμον· τὸ ἄρα ΖΝ ἡμιόλιόν ἐστι τοῦ ΖΛ καὶ ἡ ΜΖ τῆς ΖΗ. Συνεστάτω δὴ τῷ ΖΝ παραλληλογράμμῳ ἴσον τετράγωνον τὸ ΞΠ, καὶ περὶ διάμετρον μίαν τῶν πλευρῶν αὐτοῦ τὴν ΞΟ κύκλος γεγράφθω. Ἔσται δὴ ὁ ΞΟ ἡμιόλιος τοῦ ΖΗ· οἱ γὰρ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα, Καὶ ἐὰν πάλιν νοηθῇ κύλινδρος βάσιν μὲν ἔχων τὸν Ξ0 κύκλον, ὕψος δὲ ἴσον τῇ ΘΚ, ἔσται ἡμιόλιος τοῦ κυλίνδρου, οὗ βάσις μὲν ὁ ΖΗ κύκλος, ὕψος δὲ ἡ ΘΚ.
22.8
Εἰ δὲ κῶνος εἴη, ὁμοίως τὰ αὐτὰ ποιήσαντες καὶ τῷ τρίτῳ μέρει τοῦ ΖΝ παραλληλογράμμου ἴσον συστησάμενοι τετράγωνον ὡς τὸ ΞΠ καὶ περὶ τὴν πλευρὰν αὐτοῦ τὴν Ξ0 κύκλον γράψαντες νοήσωμεν ἀπʼ αὐτοῦ κύλινδρον ὕψος ἔχοντα τὴν ΘΚ· ἕξομεν αὐτὸν ἡμιόλιον τοῦ προτεθέντος κώνου. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ΖΝ παραλληλόγραμμον τοῦ ΞΠ τετραγώνου τριπλάσιον, τοῦ δὲ ΖΛ ἡμιόλιον, τὸ ΖΛ τοῦ ΞΠ ἔσται διπλάσιον, καὶ διὰ τοῦτο καὶ ὁ κύκλος τοῦ κύκλου διπλάσιος καὶ ὁ κύλινδρος τοῦ κυλίνδρου. Ἀλλ᾿ ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν ἔχων τὸν ΖΗ κύκλον, ὕψος δὲ τὴν ΘΚ, τριπλάσιός ἐστι τοῦ περὶ τὴν αὐτὴν βάσιν καὶ ὕψος τὸ αὐτὸ κώνου ὥστε καὶ ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν ἔχων τὸν Ξ0 κύκλον, ὕψος δὲ ἴσον τῇ ΘΚ, ἡμιόλιός ἐστι τοῦ προκειμένου κώνου.
22.9
Εἰ δὲ δέοι μήτε τὸν ἄξονα τὸν αὐτὸν εἶναι μήτε τὴν βάσιν, γενήσεται τὸ πρόβλημα πάλιν διχῶς ἢ γὰρ τὴν βάσιν ἕξει ἴσην τῇ δοθείσῃ ἢ τὸν ἄξονα ὁ ποριζόμενος κύλινδρος. Ἔστω γὰρ πρότερον ἡ βάσις διδομένη, ὡς ὁ Ξ0 κύκλος, καὶ δέον ἔστω κύλινδρον εὑρεῖν ἡμιόλιον τοῦ δοθέντος κώνου ἢ κυλίνδρου ἀπὸ βάσεως τῆς ΞΟ. Εἰλήφθω, ὡς προείρηται, τοῦ δοθέντος κώνου ἢ κυλίνδρου ἡμιόλιος κύλινδρος βάσιν ἔχων τὴν αὐτὴν τῷ προτεθέντι ὁ ΦΥ, καὶ γεγονέτω ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΞΟ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΥ, οὕτως τὸ ὕψος τοῦ ΦΥ πρὸς τὴν ΡΣ. Ἔσται ἄρα ὁ κύλινδρος ὁ ἀπὸ τῆς ΞΟ βάσεως ὕψος ἔχων τὴν ΡΣ ἴσος τῷ ΦΥ· ἀντιπεπόνθασιν γὰρ αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν καὶ γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπίταγμα. Εἰ δὲ μὴ ἡ βάσις ᾗ διδομένη, ἀλλὰ ὁ ἄξων, τῷ αὐτῷ λόχῳ πορισθέντος τοῦ ΦΥ γενήσεται τὰ τῆς προτάσεως.
23.1
Τούτου ληφθέντος ἐπεὶ διʼ ἀναλύσεως αὐτῷ προέβη τὰ τοῦ προβλήματος, ληξάσης τῆς ἀναλύσεως εἰς τὸ δεῖν δύο δοθεισῶν δύο μέσας ἀνάλογον προσευρεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ φησὶν ἐν τῇ συνθέσει· εὑρήσθωσαν. Τὴν δὲ εὕρεσιν τούτων ὑπʼ αὐτοῦ μὲν γεγραμμένην οὐδὲ ὅλως εὑρίσκομεν, πολλῶν δὲ κλεινῶν ἀνδρῶν γραφαῖς ἐντετυχήκαμεν τὸ πρόβλημα τοῦτο ἐπαγγελλομέναις, ὧν τὴν Εὐδόξου τοῦ Κνιδίου παρῃτησάμεθα γραφήν, ἐπειδή φησιν μὲν ἐν προοιμίοις διὰ καμπύλων γραμμῶν αὐτὴν ηὑρηκέναι, ἐν δὲ τῇ ἀποδείξει πρὸς τῷ μὴ κεχρῆσθαι καμπύλαις γραμμαῖς ἀλλὰ καὶ διῃρημένην ἀναλογίαν εὑρὼν ὡς συνεχεῖ χρῆται· ὅπερ ἦν ἄτοπον ὑπονοῆσαι, τί λέγω περὶ Εὐδόξου, ἀλλὰ περὶ τῶν καὶ μετρίως περὶ γεωμετρίαν ἀνεστραμμένων. Ἵνα δὴ ἡ τῶν εἰς ἡμᾶς ἐληλυθότων ἀνδρῶν ἔννοια ἐμφανὴς γένηται, ὁ ἑκάστου τῆς εὑρέσεως τρόπος καὶ ἐνταῦθα γραφήσεται.
24.1
Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ.
24.2
Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν. Ἐκβεβλήσθωσαν ἐπʼ εὐθείας ἐπὶ τὰ △, Ε, καὶ κατεσκευάσθω ὀρθὴ γωνία ἡ ὑπὸ ΖΗΘ, καὶ ἐν ἑνὶ σκέλει, οἷον τῷ ΖΗ, κινείσθω κανὼν ὁ ΚΛ ἐν σωλῆνί τινι ὄντι ἐν τῷ ΖΗ οὕτως, ὥστε παράλληλον αὐτὸν διαμένειν τῷ ΗΘ. Ἔσται δὲ τοῦτο, ἐὰν καὶ ἕτερον κανόνιον νοηθῇ συμφυὲς τῷ ΘΗ, παράλληλον δὲ τῷ ΖΗ, ὡς τὸ ΘΜ· σωληνισθεισῶν γὰρ τῶν ἄνωθεν ἐπιφανειῶν τῶν ΖΗ, ΘΜ σωλῆσιν πελεκινοειδέσιν καὶ τύλων συμφυῶν γενομένων τῷ ΚΛ εἰς τοὺς εἰρημένους σωλῆνας ἔσται ἡ κίνησις τοῦ ΚΛ παράλληλος ἀεὶ τῷ ΗΘ. Τούτων οὖν κατεσκευασμένων κείσθω τὸ ἓν σκέλος τῆς γωνίας τυχὸν τὸ ΗΘ ψαῦον τοῦ Γ, καὶ μεταφερέσθω ἥ τε γωνία καὶ ὁ ΚΛ κανὼν ἐπὶ τοσοῦτον, ἄχρις ἂν τὸ μὲν Η σημεῖον ἐπὶ τῆς Β∠ εὐθείας ᾗ τοῦ ΗΘ σκέλους ψαύοντος τοῦ Γ, ὁ δὲ ΚΛ κανὼν κατὰ μὲν τὸ Κ ψαύῃ τῆς ΒΕ εὐθείας, κατὰ δὲ τὸ λοιπὸν μέρος τοῦ Α, ὥστε εἶναι, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς καταγραφῆς, τὴν μὲν ὀρθὴν γωνίαν θέσιν ἔχουσαν ὡς τὴν ὑπὸ Γ△Ε, τὸν δὲ ΚΛ κανόνα θέσιν ἔχειν, οἵαν ἔχει ἡ ΕΑ· τούτων γὰρ γεναμένων ἔσται τὸ προκείμενον. Ὀρθῶν γὰρ οὐσῶν τῶν πρὸς τοῖς △, Ε ἔστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς Β△, ἡ ∠Β πρὸς ΒΕ καὶ ἡ ΕΒ πρὸς ΒΑ.
25.1
Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν. Κείσθωσαν ὥστε ὀρθὴν γωνίαν περιέχειν τὴν πρὸς τῷ Β, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ Β△ παραλληλόγραμμον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, Β△ φανερὸν δὴ ὅτι ἴσαι οὖσαι δίχα τέμνουσιν ἀλλήλας· ὁ γὰρ περὶ μίαν αὐτῶν γραφόμενος κύκλος ἥξει καὶ διὰ τῶν περάτων τῆς ἑτέρας διὰ τὸ ὀρθογώνιον εἶναι τὸ παραλληλόγραμμον. Ἐκβεβλήσθωσαν αἱ △Γ, △Α ἐπὶ τὰ Ζ, Η, καὶ νοείσθω κανόνιον ὡς τὸ ΖΒΗ κινούμενον περί τινα τύλον μένοντα πρὸς τῷ Β καὶ κινείσθω, ἕως ἀποτέμοις ἴσας τὰς ἀπὸ τοῦ Ε, τουτέστι τὰς ΕΗ, ΕΖ. Καὶ νοείσθω ἀποτεμὸν καὶ θέσιν ἔχον τὴν ΖΒΗ ἴσων, ὡς εἴρηται, γινομένων τῶν ΕΗ, ΕΖ ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν Γ△ κάθετος ἡ ΕΘ· δίχα δὴ τέμνει δηλονότι τὴν Γ△. Ἐπεὶ οὖν δίχα τέτμηται ἡ Γ△ κατὰ τὸ Θ, καὶ πρόσκειται ἡ ΓΖ, τὸ ὑπὸ △ΖΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΘ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΘΖ. Κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΕΘ· τὸ ἄρα ὑπὸ △ΖΓ μετὰ τῶν ἀπὸ ΓΘ, ΘΕ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΖΘ, ΘΕ. Καί ἐστι τοῖς μὲν ἀπὸ ΓΘ, ΘΕ ἴσον τὸ ἀπὸ ΓΕ, τοῖς δὲ ἀπὸ ΖΘ, ΘE ἴσον τὸ ἀπὸ ΕΖ· τὸ ἄρα ὑπὸ △ΖΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσον τῷ ἀπὸ ΕΖ. Ὁμοίως δὴ δειχθήσεται ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ △ΗΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΗ. Καὶ ἔστιν ἴση ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΓ, ἡ δὲ ΗΕ τῇ ΕΖ· καὶ τὸ ὑπὸ △ΖΓ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ △ΗΑ ἐὰν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ᾖ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων, αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Ζ△ πρὸς △Η, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς ΓΖ. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ Ζ△ πρὸς △Η, οὕτως ἡ ΖΓ πρὸς ΓΒ καὶ ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ τριγώνου γὰρ τοῦ Ζ△Η παρὰ μίαν μὲν τὴν △Η ἦκται ἡ ΓΒ, παρὰ δὲ τὴν △Ζ ἡ ΑΒ· ὡς ἄρα ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς ΓΖ καὶ ἡ ΓΖ πρὸς ΓΒ. Τῶν ἄρα ΑΒ, ΒΓ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΑΗ, ΓΖ ὅπερ ἔδει εὑρεῖν.
26.1
Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν. Κείσθωσαν ὥστε ὀρθὴν γωνίαν περιέχειν τὴν πρὸς τῷ Β, καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΑΓ γεγράφθω περὶ αὐτὴν ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΕΓ, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν τῇ μὲν ΒΑ ἡ Α△, τῇ δε ΒΓ ἡ ΓΖ, καὶ παρακείσθω κανὼν κινούμενος πρὸς τῷ Β τέμνων τὰς Α△, ΓΖ καὶ κεκινήσθω περὶ τὸ Β, ἄχρις ἂν ἡ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ △ ἴση γένηται τῇ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Ζ, τουτέστι τῇ μεταξὺ τῆς τε περιφερείας τοῦ κύκλου καὶ τῆς ΓΖ. Νενοήσθω οὖν ἔχον τὸ κανόνιον θέσιν, οἵαν ἔχει ἡ △ΒΕΖ, ἴσης οὔσης, ὡς εἴρηται, τῆς △Β τῇ ΕΖ. Λέγω ὅτι αἱ Α△, ΓΖ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν τῶν ΑΒ, ΒΓ.
26.2
Νενοήσθωσαν γὰρ ἐκβεβλημέναι αἱ △Α, ΖΓ καὶ συμπίπτουσαι κατὰ τὸ Θ· φανερὸν δὴ ὅτι παραλλήλων οὐσῶν τῶν ΒΑ, ΖΘ ἡ πρὸς τῷ Θ γωνία ὀρθή ἐστιν, καὶ ὁ ΑΕΓ κύκλος ἀναπληρούμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Θ. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ △Β τῇ ΕΖ, καὶ τὸ ὑπὸ Ε△Β ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΒΖΕ. Ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ Ε△Β ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ Θ△Α· ἑκάτερον γὰρ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης ἀπὸ τοῦ △· τὸ δὲ ὑπὸ ΒΖΕ ἴσον τῷ ὑπὸ ΘΖΓ· ἑκάτερον γὰρ ὁμοίως ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης ἀπὸ τοῦ Ζ· ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ Θ△Α ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΘΖΓ, καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν ὡς ἡ △Θ πρὸς ΘΖ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς △Α. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ Θ△ πρὸς ΘΖ, οὕτως ἥ τε ΒΓ πρὸς ΓΖ καὶ ἡ △Α πρὸς ΑΒ· τριγώνου γὰρ τοῦ △ΘΖ παρὰ μὲν τὴν △Θ ἦκται ἡ ΒΓ, παρὰ δὲ τὴν ΘΖ ἡ ΒΑ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΖ, ἡ ΓΖ πρὸς △Α καὶ ἡ △Α πρὸς ΑΒ· ὅπερ προέκειτο δεῖξαι.
26.3
Ἰστέον δὲ ὅτι ἡ τοιαύτη κατασκευὴ σχεδὸν ἡ αὐτή ἐστι τῇ ὑπὸ Ἥρωνος· τὸ γὰρ ΒΘ παραλληλόγραμμον τὸ αὐτό ἐστι τῷ ληφθέντι ἐπὶ τῆς Ἥρωνος κατασκευῆς καὶ αἱ προσεκβαλλόμεναι πλευραὶ αἱ ΘΑ, ΘΓ καὶ ὁ πρὸς τῷ Β κινούμενος κανών. Ταύτῃ δὲ μόνον διαφέρει, ὅτι ἐκεῖ μὲν μέχρι τοσούτου ἐκινοῦμεν περὶ τὸ Β τὸν κανόνα, ἄχρις ἂν αἱ ἀπὸ τῆς διχοτομίας τῆς ΑΓ, τουτέστι τοῦ Κ, ἴσαι ὑπʼ αὐτοῦ ἀπετέμνοντο πρὸς τὰς Θ△, ΘΖ προσπίπτουσαι, ὡς αἱ Κ△, ΚΖ, ἐνταῦθα δέ, ἄχρις ἂν ἡ △Β ἴση γένηται τῇ ΕΖ. Ἐφ᾿ ἑκατέρας δὲ κατασκευῆς τὸ αὐτὸ ἀκολουθεῖ, τὸ δὲ νῦν εἰρημένον πρὸς χρῆσιν εὐθετώτερον τὰς γὰρ △Β, ΕΖ ἴσας τηρεῖν ἐνδέχεται διῃρημένου τοῦ κανόνος εἰς ἴσα καὶ συνεχῆ πολύ γε εὐκολώτερον τοῦ καρκίνῳ διαπειράζειν τὰς ἀπὸ τοῦ Κ ἴσας πρὸς τὰ △, Ζ.
27.1
Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν, αἱ ΒΑΓ ὀρθὴν περιέχουσαι γωνίαν τὴν πρὸς τῷ Α, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Β, διαστήματι δὲ τῷ ΑΓ, κύκλου περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΚΘΛ, καὶ πάλιν κέντρῳ τῷ καὶ διαστήματι τῷ ΑΒ κύκλου περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΜΘΝ καὶ τεμνέτω τὴν ΚΘΛ κατὰ τὸ Θ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΑ, ΘΒ, ΘΓ· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν τὸ ΒΓ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΘΑ. Τετμήσθω δίχα ἡ ΘΑ τῷ Ξ, καὶ κέντρῳ τῷ Ξ γεγράφθω κύκλος τέμνων τὰς ΑΒ, ΑΓ ἐκβληθείσας κατὰ τὰ △, Ε, ὥστε μέντοι τὰ △, Ε ἐπ᾿ εὐθείας εἶναι τῷ Θ ὅπερ ἂν γένοιτο κανονίου κινουμένου περὶ τὸ Θ τέμνοντος τὰς Α△, ΑΕ καὶ παραγομένου ἐπὶ τοσοῦτον, ἄχρις ἂν αἱ ἀπὸ τοῦ Ξ ἐπὶ τὰ △, Ε ἴσαι γένωνται.
27.2
Τούτου γὰρ γενομένου ἔσται τὸ ζητούμενον· ἡ γὰρ αὐτὴ κατασκευή ἐστι τῇ τε ὑπὸ Ἥρωνος καὶ φίλωνος γεγραμμένῃ, καὶ δῆλον ὅτι ἡ ἀπόδειξις ἡ αὐτὴ ἁρμόσει.
28.1
Ἐν κύκλῳ διήχθωσαν δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς αἱ ΑΒ, Γ△, καὶ δύο περιφέρειαι ἴσαι ἀπειλήφθωσαν ἐφ᾿ ἑκάτερα τοῦ Β αἱ ΕΒ, ΒΖ, καὶ διὰ τοῦ Ζ παράλληλος τῇ ΑΒ ἤχθω ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ △Ε. Λέγω ὅτι τῶν ΓΗ, ΗΘ δύο μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΖΗ, Η△.
28.2
Ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Ε τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ΕΚ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΕΚ τῇ ΖΗ, ἡ δὲ ΚΓ τῇ Η△. Ἔσται γὰρ τοῦτο δῆλον ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὰ Ε, Ζ ἐπιζευχθεισῶν εὐθειῶν· ἴσαι γὰρ γίνονται αἱ ὑπὸ ΓΛΕ, ΖΛ△, καὶ ὀρθαὶ αἱ πρὸς τοῖς Κ, Η· καὶ πάντα ἄρα πᾶσιν διὰ τὸ τὴν ΛΕ τῇ ΛΖ ἴσην εἶναι· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΚ τῇ Η△ ἴση ἐστίν. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ △Κ πρὸς ΚΕ, ἡ △Η πρὸς ΗΘ, ἀλλ᾿ ὡς ἡ △Κ πρὸς ΚΕ, ἡ ΕΚ πρὸς ΚΓ· μέση γὰρ ἀνάλογον ἡ ΕΚ τῶν △Κ, ΚΓ· ὡς ἄρα ἡ △Κ πρὸς ΚΕ καὶ ἡ ΕΚ πρὸς ΚΓ, οὕτως ἡ △Η πρὸς ΗΘ. Καί ἐστιν ἴση ἡ μὲν △Κ τῇ ΓΗ, ἡ δὲ ΚΕ τῇ ΖΗ, ἡ δὲ ΚΓ τῇ Η△· ὡς ἄρα ἡ ΓΗ πρὸς ΗΖ, ἡ ΖΗ πρὸς Η△ καὶ ἡ △Η πρὸς ΗΘ. Ἐὰν δὴ παῤ ἑκάτερα τοῦ Β ληφθῶσιν περιφέρειαι ἴσαι αἱ ΜΒ, ΒΝ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Ν παράλληλος ἀχθῇ τῇ ΑΒ ἡ ΝΞ, ἐπιζευχθῇ δὲ ἡ △Μ, ἔσονται πάλιν τῶν ΓΞ, Ξ0 μέσαι ἀνάλογον αἱ ΝΞ, Ξ△. Πλειόνων οὖν οὕτως καὶ συνεχῶν παραλλήλων ἐκβληθεισῶν μεταξὺ τῶν Β, △ καὶ ταῖς ἀπολαμβανομέναις ὑπʼ αὐτῶν περιφερείαις πρὸς τῷ Β ἴσων τεθεισῶν ἀπὸ τοῦ Β ὡς ἐπὶ τὸ Γ καὶ ἐπὶ τὰ γενόμενα σημεῖα ἐπιζευχθεισῶν εὐθειῶν ἀπὸ τοῦ △, ὡς τῶν ὁμοίων ταῖς △Ε, △Μ, τμηθήσονται αἱ παράλληλοι αἱ μεταξὺ τῶν Β, △ κατά τινα σημεῖα, ἐπὶ τῆς προκειμένης καταγραφῆς τὰ Ο, Θ, ἐφ᾿ ἃ κανόνος παραθέσει ἐπιζεύξαντες εὐθείας ἕξομεν καταγεγραμμένην ἐν τῷ κύκλῳ τινὰ γραμμήν, ἐφ᾿ ἧς ἐὰν ληφθῇ τυχὸν σημεῖον καὶ διʼ αὐτοῦ παράλληλος ἀχθῇ τῇ ΛΒ, ἔσται ἡ ἀχθεῖσα καὶ ἡ ἀπολαμβανομένη ὑπ᾿ αὐτῆς ἀπὸ τῆς διαμέτρου πρὸς τῷ △ μέσαι ἀνάλογον τῆς τε ἀπολαμβανομένης ὑπʼ αὐτῆς ἀπὸ τῆς διαμέτρου πρὸς τῷ Γ σημείῳ καὶ τοῦ μέρους αὐτῆς τοῦ ἀπὸ τοῦ ἐν τῇ γραμμῇ σημείου ἐπὶ τὴν Γ△ διάμετρον.
28.3
Τούτων προκατεσκευασμένων ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν, αἱ Α, Β, καὶ ἔστω κύκλος, ἐν ᾧ δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ Γ△, ΕΖ, καὶ γεγράφθω ἐν αὐτῷ ἡ διὰ τῶν συνεχῶν σημείων γραμμή, ὡς προείρηται, ἡ △ΘΖ, καὶ γεγονέτω ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, ἡ ΓΗ πρὸς ΗΚ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΚ καὶ ἐκβληθεῖσα τεμνέτω τὴν γραμμὴν κατὰ τὸ Θ, καὶ διὰ τοῦ Θ τῇ ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΜ· διὰ ἄρα τὰ προγεγραμμένα τῶν ΓΛ, ΛΘ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΜΛ, Λ△. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΓΛ πρὸς ΛΘ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΚ, ὡς δὲ ἡ ΓΗ πρὸς ΗΚ, οὕτως ἡ Α πρὸς τὴν Β, ἐὰν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ταῖς ΓΛ, ΛΜ, Λ△, ΛΘ παρεμβάλωμεν μέσας τῶν Α, Β, ὡς τὰς Ν, Ξ, ἔσονται εἰλημμέναι τῶν Α, Β μέσαι ἀνάλογον αἱ Ν, Ξ· ὅπερ ἕδει εὑρεῖν.
29.1
Προέθετο μὲν ὁ Πάππος κύβον εὑρεῖν πρὸς τὸν δοθέντα κύβον λόχον ἔχοντα δεδομένον, καὶ ὡς πρὸς τὴν τοιαύτην πρόθεσιν καὶ τὰ τῆς ἀποδείξεως αὐτῷ προέρχεται, δῆλον δὲ ὅτι τούτου εὑρισκομένου καὶ τὸ προκείμενον εὑρίσκεται· δύο γὰρ δοθεισῶν εὐθειῶν ἐὰν τῶν ὀφειλουσῶν μέσων εὑρεθῆναι ἡ δευτέρα εὑρεθῇ, καὶ ἡ τρίτη αὐτόθεν δοθήσεται.
29.2
Γεγράφθω γάρ, ὥς φησιν αὐτὸς κατὰ λέξιν, ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ △ κέντρου πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ △Β, καὶ κινείσθω κανόνιον περὶ τὸ △ σημεῖον, ὥστε τὸ μὲν ἓν πέρας αὐτοῦ περικεῖσθαι τυλίῳ τινὶ κατὰ τὸ △ σημεῖον ἑστῶτι, τὸ δὲ λοιπὸν μέρος ὡς περὶ κέντρον τὸ τυλάριον κινεῖσθαι μεταξὺ τῶν Β, Γ. Τούτων δὲ κατεσκευασμένων ἐπιτετάχθω δύο κύβους εὑρεῖν λόγον ἔχοντας πρὸς ἀλλήλους τὸν ἐπιταχθέντα.
29.3
Καὶ τῷ λόγῳ ὁ αὐτὸς πεποιήσθω ὁ τῆς Β△ πρὸς △Ε, καὶ ἐπζευχθεῖσα ἡ ΓΕ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ζ. Παραγέσθω δὴ τὸ κανόνιον μεταξὺ τῶν Β, Γ, ἕως οὖ τὸ ἀπολαμβανόμενον αὐτοῦ μέρος μεταξὺ τῶν ΖΕ, ΕΒ εὐθειῶν ἴσον γένηται τῷ μεταξὺ τῆς ΒΕ εὐθείας καὶ τῆς ΒΚΓ περιφερείας· τοῦτο γὰρ πειράζοντες καὶ μετάγοντες τὸ κανόνιον ῥᾳδίως ποιήσομεν. Γεγονέτω δή, καὶ ἐχέτω θέσιν τὴν ΑΚ, ὥστε ἴσας εἶναι τὰς ΗΘ, ΘΚ. Λέγω ὅτι ὁ ἀπὸ τῆς Β△ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς △Θ κύβον λόγον ἔχει τὸν ἐπιταχθέντα, τουτέστι τὸν τῆς Β△ πρὸς △Ε.
29.4
Νενοήσθω γὰρ ὁ κύκλος ἀναπεπληρωμένος, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ Κ△ ἐκβεβλήοθω ἐπὶ τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΗ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν τῇ Β△ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΚΘ τῇ ΗΘ, τὴν δὲ Κ△ τῇ △Λ. Ἐπεζεύχθω δὴ ἥ τε ΑΛ καὶ ἡ ΛΓ. Ἐπεὶ οὖν ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΛΓ, ἐν ἡμικυκλίῳ γάρ, καὶ κάθετος ἡ ΛΜ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΑ, τουτὲστιν ἡ ΤΜ πρὸς ΜΑ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ. Κοινὸς προσκείσθω ὁ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ λόγος· ὁ ἄρα συγκείμενος λόγος ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΜ πρὸς ΜΑ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ, τουτέστιν ὁ τῆς ΓΜ πρὸς ΜΗ λόγος, ὁ αὐτός ἐστι τῷ συγκειμένῳ ἔκ τε τοῦ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ. Ὁ δὲ συγκείμενος λόγος ἔκ τε τοῦ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ ὁ αὐτός ἐστι τῷ λόγῳ, ὃν ἔχει ὁ ἀπὸ τῆς ΑΜ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΜΗ· καὶ ὁ τῆς ΓΜ ἄρα πρὸς ΜΗ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ λόχῳ, ὃν ἔχει ὁ ἀπὸ τῆς ΑΜ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΜΗ. Ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΓΜ πρὸς ΜΗ, οὕτως ἡ Γ△ πρὸς △Ε, ὡς δὲ ἡ ΑΜ πρὸς ΜΗ, ἡ Α△ πρὸς △Θ καὶ ὡς ἄρα ἡ Β△ πρὸς △Ε, τουτέστιν ὡς ὁ δοθεὶς λόγος, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς Β△ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς △Θ κύβον. Τῶν ἄρα ὀφειλουσῶν εὑρεθῆναι δύο μέσων ἀνάλογον τῶν Β△, δὲ δευτέρα ἐστὶν ἡ △Θ καὶ ἐὰν ποιήσωμεν ὡς τὴν Β△ πρὸς △Θ, τὴν Θ△ πρὸς ἄλλην τινά, ἔσται καὶ ἡ τρίτη ηὑρημένη.
29.5
Προσέχειν δὲ χρὴ ὡς καὶ ἡ τοιαύτη κατασκευὴ ἡ αὐτή ἐστι τῇ ὑπὸ Διοκλέους εἰρημένῃ τούτῳ μόνον διαφέρουσα φέρουσα τῷ ἐκεῖνον μὲν γραμμήν τινα καταγράφειν διὰ συνεχῶν σημείων μεταξὺ τῶν Α, Β, ἐφ᾿ ἧς ἐλαμβάνετο τὸ Η ἐκβαλλομένης τῆς ΓΕ καὶ τεμνούσης τὴν εἰρημένην γραμμήν, ἐνταῦθα δὲ τὸ Η πορίζεται διὰ τοῦ ΑΚ κανόνος κινουμένου περὶ τὸ Α. Ὅτι γὰρ τὸ Η τὸ αὐτό ἐστι, εἴτε ὡς ἐνταῦθα διὰ τοῦ κανόνος ληφθῇ, εἴτε ὡς ἔφη Διοκλῆς, μάθοιμεν ἂν οὕτως. Ἐκβληθείσης τῆς ΜΗ κατὰ τὸ Ν ἐπεζεύχθω ἡ ΚΝ. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΚΘ τῇ ΘΗ, καὶ παράλληλος ἡ ΗΝ τῇ ΘΒ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΚΞ τῇ ΞΝ. Καὶ κοινὴ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΞΒ· ἡ γὰρ ΚΝ δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνεται ὑπὸ τῆς διὰ τοῦ κέντρου καὶ βάσις ἄρα βάσει ἴση, καὶ διὰ τοῦτο καὶ ἡ ΚΒ περιφέρεια τῇ ΒΝ. Tὸ ἄρα Η ἐστὶν τὸ ἐπὶ τῆς γραμμῆς τοῦ Διοκλέους. Καὶ ἡ ἀπόδειξις δὴ ἡ αὐτή ἐστιν. Ἐφασκεν γὰρ ὁ Διοκλῆς ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΓΜ πρὸς ΜΝ, οὕτως ἡ ΜΝ πρὸς ΜΑ καὶ ἡ ΑΜ πρὸς ΜΗ. Ἴση δέ ἐστιν ἡ ΝΜ τῇ ΜΛ· ἡ γὰρ διάμετρος πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΜ πρὸς ΜΛ, οὕτως ἡ ΛΜ πρὸς ΜΑ καὶ ἡ ΑΜ πρὸς ΜΗ. Τῶν ἄρα ΓΜ, ΜΗ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΛΜ, ΜΑ. Ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΓΜ πρὸς ΜΗ, ἡ Γ△ πρὸς △Ε, ὡς δὲ ἡ ΓΜ πρὸς ΜΛ, ἡ ΑΜ πρὸς ΜΗ, τουτέστιν ἡ Γ△ πρὸς △Θ καὶ τῶν δύο μέσων ἄρα τῶν Γ△, △Ε δευτέρα ἐστὶν ἡ △Θ, ἥντινα ἐπορίσατο καὶ ὁ Πάππος.
30.1
Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ ΑΒ, ΒΓ· δεῖ δὴ τῶν ΑΒ, ΒΓ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ.
30.2
Ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ △ΒΕ, καὶ κέντρῳ τῷ Β, διαστήματι δὲ τῷ ΒΑ, ἡμικύκλιον γεγράφθω τὸ △ΑΕ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Γ εὐθεῖα ἐπιζευχθεῖσα διήχθω ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ △ διήχθω τις εὐθεῖα οὕτως ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΗΘ τῇ ΘΚ· τοῦτο γὰρ δυνατόν καὶ ἢχθωσαν ἀπὸ τῶν Η, ἐπὶ τὴν δὲ κἀθετοι αἱ ΗΛ, ΚΝΜ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΗ, ἡ ΜΒ πρὸς ΒΛ, ἴση δὲ ἡ ΚΘ τῇ ΘΗ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΜΒ τῇ ΒΛ ὥστε καὶ λοιπὴ ἡ ΜΕ τῇ Λ△. Καὶ ὅλη ἄρα ἡ △Μ τῇ ΛΕ ἐστὶν ἴση, καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν ὡς ἡ Μ△ πρὸς △Λ, ἡ ΛΕ πρὸς ΕΜ. Ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ Μ△ πρὸς △Λ, ἡ ΚΜ πρὸς ΗΛ, ὡς δὲ ἡ ΛΕ πρὸς ΕΜ, ἡ ΗΛ πρὸς ΝΜ. Πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ △Μ πρὸς ΜΚ, ἡ ΚΜ πρὸς ΜΕ, ὡς ἄρα ἡ △Μ πρὸς △Ε, οὕτως τὸ ἀπὸ △Μ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΚ, τουτέστι τὸ ἀπὸ △Β πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΘ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΘ· ἴση γὰρ ἡ △Β τῇ ΒΑ. Πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Μ△ πρὸς △Β, ἡ ΛΕ πρὸς ΕΒ, ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ Μ△ πρὸς △Β ἡ ΚΜ πρὸς ΘΒ, ὡς δὲ ἡ ΛΕ πρὸς ΕΒ, ἡ ΗΛ πρὸς ΓΒ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΚΜ πρὸς ΘΒ, ἡ ΗΛ πρὸς ΓΒ · καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΚΜ πρὸς ΗΛ, ἡ ΘΒ πρὸς ΓΒ. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΚΜ πρὸς ΗΛ, ἡ Μ△ πρὸς △Λ τουτέστιν ἡ △Μ πρὸς ΜΕ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ · καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ, ἡ ΒΘ πρὸς ΒΓ. Εἰλήφθω τῶν ΘΒ, ΒΓ μέση ἀνάλογον ἡ Ξ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΘ, ἡ ΘΒ πρὸς ΒΓ, ἀλλὰ τὸ μὲν ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΘ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς ΒΘ, ἡ δὲ ΘΒ πρὸς ΒΓ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΒ πρὸς Ξ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΒΘ, ἡ ΒΘ πρὸς Ξ. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΘΒ πρὸς Ξ, ἡ Ξ πρὸς ΒΓ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΒΘ, ἡ ΘΒ πρὸς Ξ καὶ ἡ Ξ πρὸς ΒΓ.
30.3
Φανερὸν δὲ ὅτι καὶ αὕτη ἡ αὐτή ἐστιν τῇ τε ὑπὸ Πάππου καὶ Διοκλέους γεγραμμένῃ.
31.1
Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ Α, Ε · δεῖ δὴ τῶν Α, Ε δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν.
31.2
Γεγονέτω, καὶ ἔστωσαν αἱ Β, Γ, καὶ ἐκκείσθω θέσει εὐθεῖα ἡ △Η πεπερασμένη κατὰ τὸ △, καὶ πρὸς τῷ △ τῇ Γ ἴση κείσθω ἡ △Ζ καὶ ἤχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΘ, καὶ τῇ Β ἴση κείσθω ἡ ΖΘ. Ἐπεὶ οὖν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ Α, Β, Γ, τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β · τὸ ἄρα ὑπὸ δοθείσης τῆς Α καὶ τῆς Γ, τουτέστι τῆς △Ζ, ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΖΘ. Ἐπὶ παραβολῆς ἄρα τὸ Θ διὰ τοῦ γεγραμμένης. Ἤχθωσαν παράλληλοι αἱ ΘΚ, △Κ. Καὶ ἐπεὶ δοθὲν τὸ ὑπὸ Β, Γ, ἴσον γάρ ἐστι τῷ ὑπὸ Α, Ε, δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΚΘΖ. Ἐπὶ ὑπερβολῆς ἄρα τὸ Θ ἐν ἀσυμπτώτοις ταῖς Κ△, △Ζ. Δοθὲν ἄρα τὸ Θ · ὥστε καὶ τὸ Ζ.
31.3
Συντεθήσεται δὴ οὕτως. Ἔστωσαν αἱ μὲν δοθεῖσαι εὐθεῖαι αἱ Α, Ε, ἡ δὲ τῇ θέσει ἡ △Η πεπαρασμένη κατὰ τὸ △, καὶ γεγράφθω διὰ τοῦ παραβολή, ἧς ἄξων μὲν ἡ △Η, ὀρθία δὲ τοῦ εἴδους πλευρὰ ἡ Α, αἱ δὲ καταγόμεναι ἐπὶ τὴν △Η ἐν ὀρθῇ γωνίᾳ δυνάσθωσαν τὰ παρὰ τὴν Α παρακείμενα χωρία πλάτη ἔχοντα τὰς ἀπολαμβανομένας ὑπʼ αὐτῶν πρὸς τῷ σημείῳ. Γεγράφθω καὶ ἔστω ἡ △Θ, καὶ ὀρθὴ ἡ △Κ, καὶ ἐν ἀσυμπτώτοις ταῖς Κ△, △Ζ γεγράφθω ὑπερβολή, ἀφ᾿ ἧς αἱ παρὰ τὰς Κ△, △Ζ ἀχθεῖσαι ποιήσουσιν τὸ χωρίον ἴσον τῷ ὑπὸ Α, Ε · τεμεῖ δὴ τὴν παραβολήν. Γεμνέτω κατὰ τὸ Θ, καὶ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΘΚ, ΘΖ. Ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ ΖΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ Α, △Ζ, ἔστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΖΘ, ἡ ΘΖ πρὸς Ζ△. Πάλιν, ἐπεὶ τὸ ὑπὸ Α, Ε ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΘΖ△, ἔστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΖΘ, ἡ Ζ△ πρὸς τὴν E. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΖΘ, ἡ ΖΘ πρὸς Ζ△· καὶ ὡς ἄρα ἡ πρὸς τὴν ΖΘ, ἡ ΖΘ πρὸς Ζ△ καὶ ἡ Ζ△ πρὸς Ε. Κείσθω τῇ μὲν ΘΖ ἴση ἡ Β, τῇ δὲ △Ζ ἴση ἡ Γ · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, ἡ Β πρὸς τὴν Γ καὶ ἡ πρὸς Ε. Αἱ Α, Β, Γ, Ε ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν · ὅπερ ἔδει εὑρεῖν.
32.1
Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ γεγονέτωσαν αὐτῶν μέσαι αἱ △Β, ΒΕ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΓΒ πρὸς Β△, οὕτως τὴν Β△ πρὸς ΒΕ καὶ τὴν ΒΕ πρὸς ΒΑ, καὶ ἤχθωσαν πρὸς ὀρθὰς αἱ △Ζ, ΕΖ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς Β△, ἡ △Β πρὸς ΒΕ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΓΒΕ, τουτέστι τὸ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς ΒΕ, ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β△, τουτέστι τῆς ΕΖ. Ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς ΒΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΖ, τὸ Ζ ἄρα ἅπτεται παραβολῆς τῆς περὶ ἄξονα τὴν ΒΕ. Πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΕ, ἡ ΒΕ πρὸς Β△, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒ△, τουτέστι τὸ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς Β△, ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΒ, τουτέστι τῆς △Ζ· τὸ Ζ ἄρα ἅπτεται παραβολῆς τῆς περὶ ἄξονα τὴν Β△. Ἧπται δὲ καὶ ἑτέρας δοθείσης τῆς περὶ τὴν ΒΕ · δοθὲν ἄρα τὸ Ζ. Καὶ κάθετοι αἱ Ζ△, ΖΕ · δοθέντα ἄρα τὰ △, Ε.
32.2
Συντεθήσεται δὲ οὕτως. Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι πρὸς ὀρθας ἀλλήλαις αἱ ΑΒ, ΒΓ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπ᾿ ἄπειρον ἀπὸ τοῦ Β, καὶ γεγράφθω περὶ ἄξονα τὴν ΒΕ παραβολή, ὥστε τας καταγομένας ἐπὶ τὴν ΒΕ δύνασθαι τὰ παρὰ τὴν ΒΓ. Πάλιν γεγράφθω περὶ ἄξονα τὴν △Β παραβολή, ὥστε τὰς καταγομένας δύνασθαι τὰ παρὰ τὴν ΑΒ · τεμοῦσιν δὴ ἀλλήλας αἱ παραβολαί. Τεμνέτωσαν κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ Ζ△, ΖΕ. Ἐπεὶ οὖν ἐν παραβολῇ κατῆκται ἡ ΖΕ, τουτέστιν ἡ △Β, τὸ ἄρα ὑπὸ ΓΒΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ Β△ ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς Β△, ἡ △Β πρὸς ΒΕ. Πάλιν, ἐπεὶ ἐν παραβολῇ κατῆκται ἡ Ζ△, τουτέστιν ἡ ΕΒ, τὸ ἄρα ὑπὸ △ΒΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΒ ἔστιν ἄρα ὡς ἡ △Β πρὸς ΒΕ, ἡ ΒΕ πρὸς ΒΑ. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ △Β πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς Β△· καὶ ὡς ὄρα ἡ ΓΒ πρὸς Β△, ἡ Β△ πρὸς ΒΕ καὶ ἡ ΕΒ πρὸς ΒΑ· ὅπερ ἔδει εὑρεῖν.

First Thousand Years of Greek. CTS URN tlg4072.tlg001.1st1K-grc1. Via the Perseus Digital Library / Open Greek and Latin TEI corpora. Licence: Available under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License. Source.