Commentarius in dimensionem circuli

First Thousand Years of Greek · First Thousand Years of Greek · 129 sections

3.97.1
ὁμοῦ Μ ασν αγοερ ἐγγύς
3.98.1
ὑπερέχει ἄρα τοῦ ἀκριβοῦς μ τκᾱ ἐγγύς.
3.99.1
Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΘΑΓ γωνία τῇ ΚΑ | Πάλιν οὖν διὰ τὴν διχοτομίαν τῆς γωνίας καὶ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων καὶ τὴν ἀναλογίαν τῶν πλευρῶν καὶ τὸ συνθέντι καὶ ἐναλλάξ ἐστιν ὡς συναμφότερος ἡ ΘΑ, ΑΓ πρὸς ΓΘ, ἡ ΑΚ πρὸς ΚΓ. Ἀλλὰ συναμφότερος ἡ ΘΑ, ΑΓ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ γχξα θ ια΄, ἐπειδὴ ἡ μὲν ΘΑ ὑπόκειται αωκυ, ἡ δὲ ΑΓ αωλη θ ια΄. Ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΘΓ σμ· συναμφότερος ἄρα ἡ ΘΑ, ΑΓ πρὸς ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ γχξα θ ια΄ πρὸς σμ· ὥστε καὶ ἡ ΑΚ πρὸς ΚΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ γχξα θ ια΄ πρὸς σμ. Καὶ ἐπεὶ τῶν μὲν γχξα θ ια΄ τὸ ια καὶ μ΄ ἐστὶ αζ, τῶν δὲ σμ ξϚ, ἡ ΑΚ ἄρα πρὸς ΚΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ αζ πρὸς ξϚ. Καὶ ἔστι τὸ μὲν ἀπὸ ΑΚ Μ δμθ, τὸ δὲ ἀπὸ ΚΓ δτνϚ, οἷς ἴσον ὂν τὸ ἀπὸ ΑΓ ἐσνὶ Μ ηυε· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴν αθ Ϛ΄ ἔγγιστα ὑπερέχει γὰρ τὸ ἀπʼ αὐτῆς τοῦ ἀκριβοῦς μιβ γ΄ λϚ΄. Ἡ ΑΓ ἄρα πρὸς ΓΚ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ αθ Ϛ΄ πρὸς ξϚ΄, Οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκεινται·
3.100.1
ἡ ΑΚ αζ ἡ ΚΓ ξϚ αθ Ϛ΄
3.101.1
ἐπὶ αζ ἐπὶ ξϚ ἐπὶ αθ Ϛ΄
3.102.1
Μ ζ΄ γχ τξ Μ θρξϚ΄ L΄ Ϛ΄
3.103.1
τξ λϚ
3.104.1
ζμθ θπα α L΄
3.105.1
ὁμοῦ, δτνϚ
3.106.1
ὁμοῦ Μ δμθ ρξϚ L΄ Ϛ΄ α L΄ λϚ΄
3.107.1
ὁμοῦ Μ ηυιζ γ΄ λϚ΄
3.108.1
τούτοις ἴσον τὸ ἀπὸ ΑΓ ἐστὶ
3.109.1
ὑπερέχει τοῦ ἀκριβοῦς
3.110.1
Μ ηυε.
3.111.1
μ ιβ γ΄ λϚ΄.
3.112.1
Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΚΑΓ γωνία τῇ ΑΛ | Διὰ τὰ αὐτὰ δή ἐστιν ὡς συναμφότερος ἡ ΚΑ, ΑΓ πρὸς ΚΓ, ἡ ΑΛ πρὸς ΛΓ. Καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΑΚ ἐλάσσων ἢ αζ, ἡ δὲ ΑΓ ἐλάσσων ἢ αθ Ϛ΄, ἡ δὲ ΚΓ ξϚ. Συναμφότερος ἄρα ἡ ΚΑ, ΑΓ πρὸς ΚΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ βιϚ Ϛ΄ πρὸς ξϚ. Καὶ ἡ ΑΛ ἄρα πρὸς ΛΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ βιϚ Ϛ΄ πρὸς ξϚ. Καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΛ ὑπόκειται βιϚ Ϛ΄ καὶ τὸ ἀπʼ αὐτῆς δϡκη λϚ, ἡ δὲ ΛΓ ξϚ καὶ τὸ ἀπ᾿ αὐτῆς δτνϚ, ἴσον δὲ αὐτοῖς ἐστι τὸ ἀπὸ ΑΓ, ἔσται ἄρα Μ θσπδ λϚ΄· ὧν πλευρὰ τετραγωνική ἐστι βιζ δ΄ ἔγγιστα· ὑπερέχει γὰρ τὸ ἀπʼ αὐτῆς τοῦ ἀκριζοῦς μιγ L΄ κ΄. Ὥστε ἡ ΑΓ πρὸς ΓΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ βιζ δ΄ πρὸς ξϚ, Οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκεινται·
3.113.1
ἡ ΑΛ βιϚ Ϛ΄ ἡ ΛΓ ξϚ βιζ δ΄
3.114.1
ἐπὶ βιϚ Ϛ΄ ἐπὶ ξϚ ἐπὶ βιζ δ΄
3.115.1
ΜΜΜ βτλγ γ΄ γχ τξ ΜΜΜ δφ
3.116.1
τξ λϚ
3.117.1
Μ ρξα L΄ Ϛ΄ ὁμοῦ δτνϚ Μ ροβ L΄
3.118.1
Μ βξ λϚ α Μ δο μθ α L΄ δ΄
3.119.1
τλγ γ΄ α L΄ Ϛ α λϚ΄ φβ L΄ α L΄ δ΄ ιϚ΄
3.120.1
ὁμοῦ Μ δϡκη λϚ΄ ὁμοῦ Μ θσϥζ L΄ ιϚ΄
3.121.1
τούτοις ἴσον ὂν τὸ ἀπὸ ΑΙ περιττεύει τοῦ ἀκριβοῦς
3.122.1
ἐστὶ Μ θσπδ λϚ΄ μιγ L΄ κ΄.
3.123.1
Ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΓ πρὸς ΓΛ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβζ δ΄ πρὸς ξϚ, ἀνάπαλιν ἄρα ἡ ΛΓ πρὸς ΓΑ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ξϚ πρὸς βιζ δ΄. Καὶ ἐπεὶ ἡ ΓΒ περιφέρεια ἕκτον ἐστὶ τοῦ κύκλου, ἡ ΗΓ ἄρα ιβ΄ μέρος ἐστίν, ἡ δὲ ΘΓ κδ΄, ἡ δὲ ΚΓ μη΄, ἡ δὲ ΛΓϥϚ΄· ὥστε ἡ ΛΓ εὐθεῖα πολυγώνου ἐστὶ πλευρὰ ϥϚ πλευρὰς ἔχοντος. Καὶ ἔστιν ἡ ΛΓ ξϚ· ἡ ἄρα τοῦ πολυγώνου περίμετρος πρὸς τὴν τοῦ κύκλου διάμετρον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ϚτλϚ πρὸς βιζ δ΄. Ταῦτα δέ ἐστι τριπλάσια καὶ ἔτι ὑπερέχει σπδ δ΄, ἅπερ μείζονά ἐστι δέκα ἑβδομηκοστομόνων· ὅ ἐστι μκζ L΄ Ϛ΄ ἔγγιστα, τὰ δὲ δεκαπλάσια τούτων σοζ· πολλῷ ἄρα ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια μείζων ἐστὶν ἢ τριπλασία καὶ δέκα ἑβδομηκοστόμονα.
3.124.1
Ὡς μὲν οὖν ἐνεχώρει, οἱ παῤ αὐτοῦ εἰρημένοι ἀριθμοὶ μετρίως ἐσαφηνίσθησαν ἰστέον δὲ ὅτι καὶ Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος ἐν τῷ Ὠκυτοκίῳ ἀπέδειξεν αὐτὸ διʼ ἀριθμῶν ἑτέρων ἐπὶ τὸ σύνεγγυς μᾶλλον ἀγαγών. Τοῦτο δὲ ἀκριβέστερον μὲν εἶναι δοκεῖ, οὐ χρήσιμον δὲ πρὸς τὸν Ἀρχιμήδους σκοπόν ἔφαμεν γὰρ αὐτὸν σκοπὸν ἔχειν ἐν τῷδε τῷ βιβλίῳ τὸ σύνεγγυς εὑρεῖν διὰ τὰς ἐν τῷ βίῳ χρείας. Ὥστε οὐδὲ Σπόρος ὁ Νικαεὺς εὔκαιρον εὑρεθήσεται μέμψιν ἐπάγων Ἀρχιμήδει ὡς μὴ ἀκριβῶς εὑρόντι ποίᾳ εὐθείᾳ ἴση ἐστὶν ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια, ἐξ ὧν αὐτὸς ἐν τοῖς Κηρίοις φησὶν τὸν ἑαυτοῦ διδάσκαλον, Φίλωνα λέγων τὸν ἀπὸ Γαδάρων, εἰς ἀκριβεστέρους ἀριθμοὺς ἀγαγεῖν τῶν ὑπ᾿ Ἀρχιμήδους εἰρημένων, τοῦ τε ζ΄ φημὶ καὶ τῶν ῑ οα΄· ἅπαντες γὰρ ἐφεξῆς φαίνονται τὸν σκοπὸν αὐτοῦ ἠγνοηκότες. Κέχρηνται δὲ καὶ τοῖς τῶν μυριάδων πολλαπλασιασμοῖς καὶ μερισμοῖς, οἷς οὐκ εὔκολον παρακολουθεῖν τὸν μὴ διὰ τῶν Μάγνου Λογιστικῶν ἠγμένον. Εἰ δέ τις ὅλως ἐβούλετο εἰς ἔλαττον αὐτὸ καταγαγεῖν, ἐχρῆν τοῖς ἐν τῇ Μαθηματικῇ συντάξει Κλαυδίου Πτολεμαίου εἰρημένοις ἀκολουθοῦντα διὰ τῶν μοιρῶν καὶ λεπτῶν καὶ τῶν ἐν τῷ κύκλῳ εὐθειῶν τοῦτο ποιεῖν, καὶ πεποιήκειν ἂν ἐγὼ τοῦτο, εἰ μή, ὅπερ πολλάκις εἶπον, ἐνενόουν ὡς οὔτε ἀκριβῶς δυνατὸν διὰ τῶν ἐνταῦθα εἰρημένων εὑρεῖν τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ ἴσην εὐθεῖαν, καὶ εἴ τις τὸ σύνεγγυς καὶ παρὰ μικρὸν προσέχοι, ἀρκεῖ τὰ ὑπ᾿ Ἀρχιμήδους ἐνταῦθα εἰρημένα.
3.125.1
Εὐτοκίου Ἀσκαλωνίτου ὑπόμνημα εἰς τὴν Ἀρχιμήδους τοῦ κύκλου μέτρησιν ἐκδόσεως παραναγνωσθείσης τῷ Μιλησίῳ μηχανικῷ Ἰσιδώρῳ ἡμετέρῳ διδασκάλῳ.

First Thousand Years of Greek. CTS URN tlg4072.tlg002.1st1K-grc1. Via the Perseus Digital Library / Open Greek and Latin TEI corpora. Licence: Available under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License. Source.